数学建模作业 mathematica

数学实验与数学建模作业。

电子信息工程学院）

问题一。小区里街心花园的设计与造价问题。

1. 问题描述。

有一个小区，入住率很高，但是业主对小区的环境和绿化并不是很满意。物业为了改善小区的居住环境，打算在小区里修建一个小型的街心花园，以便让业主休息放松。由于小区的面积比较狭窄，且建筑物比较稠密，因此没有很大的空间修建街心花园，只能修一个面积形状不规则的花园。

物业计划要在开发出的空间里全部铺上草坪，并在每单位面积内种植一定数目和花卉，以及必要的灌溉设施（造价见符号说明）。计算花园的造价。

符号说明：s：花园面积。

a：每平方米草坪造价，a=200

b：每平方米花卉造价，b=300

c：每个灌溉喷头造价，c=100，每个喷头可以覆盖30平方米。

q：花园总造价。

花园形状示意图。

图中的红点表示圈定施工界限时用的标志桶，关于x轴对称，经工人测量，标志桶距离x轴的面积已标在图上。

2. 问题分析。

本题目的关键是要计算出花园的面积。由题目知道，花园是一个对称图形，并且给了一组数据，我们可以用数值积分的方法来计算出花园的面积。但是本题目在45米的间距内只给出了8个标志点（即8个数据），数据的间隔较大，如果采用数值积分的话，会造成较大误差。

因此我们可以先拟合出花园的边界曲线，然后利用求得的边界曲线和定积分，即可求得花园的面积。观察图形，这个曲线和二次或者三次函数具有一定的相似性，因此可以用二次或三次拟合函数来求拟合曲线。求出拟合曲线后，利用定积分公式s求出花园近似面积。

之后根据题目要求，计算出总造价q=s*(a+b)+s/30*c

3.问题求解（附程序源**）

用数学软件求解。

观察图形发现，三次函数的拟合度比二次函数更好一些，因此用三次函数作为花园的边界曲线。

可见，修建花园总的花费为234万元左右。

问题二。宿舍楼里的传染病问题。

1.问题描述。

禽流感的爆发威胁着人们的健康，但是这种传染病如果能及时发现，就可以做到可治可控。对于学校来讲，人员密集，更要引起大家的注重。假设一个宿舍楼有2000名学生，现在有一名学生患了禽流感，24小时后会传染给5个人。

禽流感是有潜伏期的，早起并不容易察觉，因此没法及时隔离病毒携带者。假设学校和医院在第一个患病学生回到学校10天之后才开始采取防治措施，求此时患传染病的人数。

2.问题分析：

假设为发现第一个禽流感病人小时后的传染人数，则对时间的导数可以描述该传染病的传染速率。

根据传染病的特点可知，传染病的传染率既受到传染人数的影响，又受到未传染人数的影响。一般情况下，染病人数越多，传染速度越快；未被传染人数越多，传染速度也越快。因此，其影响关系都为正比关系。

设在时刻未被传染的人数为2000-y(t)，于是可以用以下方程来描述传染速率：，，y(24)=5，为比例常数。求解此微分方程即可得到答案。

3.问题求解：

化简可得y= ,又y（0）=1，y（24）=5,可得c[1]=1999 ,2000k=0.1329014

通过观察发现，60小时的患者人数比50小时时翻了一倍还多，说明这一时期是传染最为严重的时刻，因此应该在这之前采取适当措施，才能有效控制住病情的发展。否则通过图像可以看到，当时间到达90小时时，所有学生基本都被传染了。这时再采取措施就太晚了。