数学建模作业

首先，系统**是指多个因素组成的系统发展变化的**，或者说是指系统中各因素相互影响发展变化的**。对于含有多个相互关系的因素与多个自主控制变量的复杂系统，任何单个模型都不能反映其变化，必须考虑建立系统模型才能进行有效**。

灰色系统**是从灰色系统的建模、相关度及残差辨识的思想出发，获得的关于**的新概念、观点和方法。将灰色系统理论用于能源需求量**中，其基本思想是：对关键因素建立模型，其余因素建立模型，从而得到系统的状态方程模型。

灰色系统的**分析方程一般可分为灰色生成、求参计算以及残差检验。

2.1.1 灰色生成（i-ago）设为原始离散数据序列，其中为序列长度，对其进行一次累加，弱化了原始数列中坏数据的影响，使其变为较有规律的生成数列后再建模。

生成处理数据列表达式为。

令为生成序列，则以生成序列为基础建立灰色的生成模型为。

称其为一阶灰色微分方程，记为其中为待辨识参数。

2.1.2求参计算设为参数向量，为灰色序列矩阵，及。

利用最小二乘法，通过matlab拟合求解参数即。

设模型的时间响应函数为。

经过一次累减即可得到原数列的**值：

2.1.3 残差检验一般以实测值为基础计算其相对误差，当误差较大而且且不能满足实际需要时建一个修正模型，消除误差。

记0阶残差为其中：式为通过**模型得到的**值，则残差均值和残差方差为。

原始数据的均值和方差。

方差计算的后验差检验比值和小误差概率分别为。

能源需求量的大小受许多因素的影响，各因素之间的关系错综复杂，表现为既非确定的，也非随机的，而是一种模糊的系统状态。根据以上的灰色理论建模方法对河南省2000-2024年的能源需求量数据序列(表1)[4]建模。

根据能源需求量统计数据的灰色模型生成数据列。

由式(3)可将累加生成数列为。

经matlab编程计算得

于是**模型为

表2 河南省2000-2024年能源需求的真实值、**值、残差和相对误差。

其中根据式(9),(10)有：

**值的残差均值和方差分别为。

原始数据的均值和方差分别为。

又根据式(11)有。

利用matlab中的画图功能，画出了河南省能源需求量的真实值和**值的对比图像（图1）。结合残差结果和**值分析，发现灰色模型的**拟合度较好，灰色**值和实际值基本吻合，**的结果正确可靠。因而做出了河南省2008-2024年能源需求量的**值（图2）。

图1 2000-2024年河南省能源需求量真实值与**值。

图2 2008-2024年河南省能源需求**量。

1）gm(1,1)模型运用灰色**原理对历史数据进行分析，**值与真实值拟合度较好，**结果可靠度高，能够反映能源需求量的客观存在和发展趋势；且与其他数学模型相比[5]该数学模型简单、采用数据少而易于建立。但减少残差的方法还需进一步的**。

2）通过应用gm(1,1)模型对河南省能源需求量的**表明，河南省必须实行可持续发展的战略，全面提高能源利用率，特别是以煤为主的能源结构再不能继续下去。因此，调整能源结构，合理利用国内外各种资源，大力发展能源科技，应当成为河南省未来能源发展的核心问题。

1]尤广芬，王萍。用灰色模型**我国能源的需求量[j].四川理工学院学报，2009,22(3):121-124.

2]邓聚龙。灰色**与决策[m].武汉：华中工业出版社，1996.

3]燕列雅，毛联霞。gm(1,1)模型应用[j].系统工程理论与实践，1998(10):104-106.

4]河南省统计局。河南统计年鉴：2008[m].北京：中国统计出版社，2008.

5]曹殿立，何春花，李小芳等。基于灰色线性回归组合模型的河南省国内生产总值**[j].河南农业大学学报，2008,42(4):469-472

图1**：year=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007];

real=[7915.21 7915.21

bar(year,real);

xlabel('年份');

ylabel('能源需求量/(万t标准煤)')

legend('真实值','**值');

图2**：year0=[2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

product=[20834.76 23719.62 27003.93 30743 34999.80 39846.01 45363.25 51644.43];

year1=2008:0.1:2015;

t=interp1(year0,product,year1,'spline');

plot(year0,product,'r*',year1,t,'b-')

xlabel('年份');

ylabel('能源需求**量/(万t标准煤)')

gtext('20834.76');

gtext('23719.62');

gtext('27003.93');

gtext('30743');

gtext('34999.80');

gtext('39846.01');

gtext('45363.25');

gtext('51644.43');

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