航空枢纽选择选址。
班级：数xx
成员：刘xx王xx
指导老师：侯xx
20xx年xx月xx日。
航空枢纽选择选址。
一．问题重述。
某航空公司专门从事货运。此公司在世界6个城市之间进行运输，这些城市为：a，b，c，d，e，f。此公司在这些城市之间平均每天运输的货物吨数列于下表中。
** 1：每对城市之间每天平均货运量。
我们假定城市i和j之间的运输费用与它们之间的距离成正比。下表给出了这些城市之间的距离，单位为公里。
** 2：城市之间的距离。
此航空公司计划使用两个城市作为连接平台（航空枢纽），以降低运输费用。然后每个城市将连接到一个枢纽。连接到枢纽h1的城市与连接到枢纽h2之间的城市之间的运输即都需要通过h1到h2这段路径，这样能够降低运输费用。
我们知道两个枢纽之间的运输费用比一般运输费用低20%。使用哪两个城市作为枢纽才能够最小化总运输成本？, 最小化总运输成本为多少？。
二．问题分析。
这是一个关于几个地点之间选中转站以减少运费的问题。题目所给影响运费的因素有距离和运输货物的重量，而每段路程的运费与距离和运输量成正比，即。
s∝ms∝l
设次正比系数为k,则有s=kml，这里取k=1单位。
影响枢纽的选择及总运费的因素归纳后只有各点之间的运费，此时可做有向图。又总运费包括来和去，即i到j和j到i，相加后的即为各点之间的运费，此时问题可以简化为单一因素影响的选址问题，s即为所赋的权值，题目所要求的也就是取最小权值的问题。
观察数据，将a，b，c之间的运费，d，e，f之间的运费相比较，可知a，b，c之间所运货物重量及距离相对于三地与d，e，f之间差距比较大，故可以初步把六个城市分为两个部分，即组团abc与组团def，而两个枢纽分别来自这两个组团。
在组团def中，当选定一个枢纽后，如d，则e，f对运费的影响可以确定，设def中有影响的那两个未被选为枢纽的城市p与q之间的运费s1。
估算s1与d与i之间的运费s2之间的大小，得s1<=0.2*s2，故s1对枢纽i的选择几乎没有影响。对利用组团abc选定另一个枢纽j时也是类似的。
综合以上分析可以把此问题简化最小树问题。
三．符号说明。
四．模型假设。
1．运费与距离和货运量成正比；
2．数据中的距离是直线距离，中途没有中转站；
3．不考虑航油费**变动等客观因素的影响；
4．不考虑天气变化的影响。
五．模型建立及求解。
由上述对问题的分析知，在初步确定两个组团后，从两个组团中分别选取一个城市作为枢纽，就使问题得到了极大的简化。下面对问题建立模型进行解决：
一选定组团def后，d，e，f三个城市之间的运费是一定的，对a，b，c三个城市进行分析。由s1<=0.2*s2，选择组团def的一个城市d，利用最小生成树的kruskal算法，在mathematica软件上编程（见附录）， 得到结果，}即最小生成树，最小权值为：
3745320；
选择组团def的一个城市e，得到，}即最小生成树，最小权值为： 2905770；
选择组团def的一个城市f，得到，}即最小生成树，最小权值为：3916360。
由于3916360>3745320>2905770,则选取e为枢纽时，总权值最小。
二选定组团abc后，a，b，c三个城市之间的运费是一定的，对d，e，f三个城市进行分析。同样由由s1<=0.2*s2，选择组团abc的一个城市a，利用最小生成树的kruskal算法，由一知此时结果为，}即最小生成树，所以选取2，即b为另一个枢纽。
由此可得枢纽为城市b和e。
下面计算最小总运费（数据见附录1）：
当选d作为一个枢纽时 ： 1890000+3745320+1120150=6755470单位；
当选d作为一个枢纽时 ： 1890000+2905770+1120150=5915920单位；
当选d作为一个枢纽时 ： 1890000+3916360+1120150=6926510单位。
所以枢纽为城市b和e，最小总运输成本为5915920单位。
六．结论解释。
在分析问题之后，经过初步计算，将六个城市分成abc与def两个组团，这极大简化了问题。然后对这两个组团进行分析与计算：首先选定组团abc，对组团def进行分析，利用最小生成树的kruskal算法确定组团abc中的一个城市使其到组团def的权值最小，经过计算此城市为b；同理选定组团def，对组团abc进行分析，计算出另一个枢纽城市为e，所以得到两个枢纽城市为b和e，然后计算最小总权值，则可得出最小运输总成本。
七．结论推广。
中国现在正准备打造航空港，这些航空港是区域性的枢纽，通过这些枢纽航空港通向外部，为区域经济的发展增加动力，即可以利用中心城市的辐射与集聚能力，也可以节省成本。中国现在正大规模修建高速铁路网，由于修建高速铁路的成本比较高，为了尽早**成本及盈利，需要考虑客流量及所设车站所在城市的经济状况，打造一部分枢纽，如在建的合肥枢纽。周边县市的居民均可以通过区域中心城市乘坐高铁，另外减少了高速铁路的修建里程，节约了成本。
在对枢纽城市进行选址时，可以考虑利用此模型并经一步细化，最大程度实现双赢。
八．模型评价。
经过对问题的初步分析与计算，将六个城市分成了两个组团，这里结合运输货物的重量及六城市两两间的距离，排除了枢纽城市之间运费降低20%的影响，但由于知识能力及时间的限制并未进行严格的证明，可能欠缺考虑，但并不影响总体。接下来对模型的建立与计算则依照严格的科学依据，利用最小生成树的kruskal算法，使用mathematica软件进行计算得出几个权值进行比较，选择最小的权值对应的城市即为枢纽城市。对于本题可能还有更好的模型及软件进行求解，以后有时间可以做进一步的尝试。
九．附录。
a,b,c之间的运费s1:
d,e,f之间的运费s2:
a,b,c与d,e,f之间的运费s3:
又因为枢纽之间的运费可以降低20%，故a,b,c与d,e,f之间的实际运费s4=0.8*s3:
比较s1与s3的大小：mean(s1)/mean(s3)= 0.2505
比较s2与s3的大小：max(s2)/min(s3)= 581850/1750760 = 0.3323
当d为一枢纽时。
当e为一枢纽时。
当f为一枢纽时。
lj=,,tableform[lj,tableheadings->,tablespacing->,tablealignments->center]
listplot[c1,plotstyle→,aspectratio→1,axes→false,frameticks→false,frame→true]
ba=flatten[table[,,1]//n
sort[ba]
dui=sort[ba];
n=8;m=length[dui];
t=table[i,];
k=0;t={}
c=0;do[if[t[[dui[[i,2]]]t[[dui[[i,3]]]k=k+1;
t=appendto[t,];
c=c+dui[[i,1]];
tmin=min;
tmax=max;
do[if[t[[j]] tmax,t[[j]]=tmin],]
print[t];
if[k==n-1,break]tc
十．参考文献。
1.马莉《matlab-数学实验与建模》，北京，清华大学出版社，2010.
2.(美)richard samuel paul 著。
邵勇译 《数学软件mathematica入门》，北京，高等教育出版社，2001.
3.彭放杨瑞琰罗**肖海军何水明 《数学建模方法》，北京，科学出版社，2007.
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