数学建模作业

数。学。建。

模。姓名：陈博。

院系：电气信息工程学院。

专业：电子信息工程。

班级：10级2班。

学号：541001030201

狼追兔问题及其三维推广。

一、问题的提出。

赛车比赛，狼追兔子，导弹拦截，追击偷渡船只等与追击有关的问题在现实生活中十分常见，对这些问题的研究也非常重要。追击问题的一般建模方法是将其转化为求解高阶微分方程解的问题，但是大多数的文献资料把追击问题仅仅局限于二维平面内，没有对在三维空间里的追击问题进行进一步讨论，实际上二维平面内的数学模型可以推广到三维空间。

狼追兔子问题简述：兔子位于狼的正西100米处，兔子与狼同时发现对方并一起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

二、模型假设：

1）狼追击兔子的方向始终指向兔子；（2）狼和兔子在整个过程中均为匀速率运动，且任意时刻狼的速率均为兔子的两倍；（3）忽略地形地貌，风速风向以及其他外界因素对狼和兔子产生影响。

三、模型分析：

建立平面直角坐标系，当t = 0 时，兔子位于坐标原点（0，0），狼位于（100，0），兔子逃跑的路线在坐标系中可以表示成一条直线，由于狼在追兔子的过程中，狼的速度大小始终是兔子的两倍，狼所行路程也是兔子的两倍，由此可以建立路程的代数关系；狼奔袭的方向始终指向兔子，即狼的瞬时速度方向始终指向兔子，狼位置的纵坐标对横坐标的一阶导数与兔子的位置坐标有代数关系。根据这两个关系，就可以建立一个微分方程。兔子能否顺利回到巢穴的问题就被转换成微分方程求解的问题。

四、模型建立与求解：

1）设计变量：设兔子的奔跑速率为v0 ,狼的奔跑速度为2v0 ,兔子在任意时刻的位置为p1(0, p)，狼在任意时刻的位置为p 2(x, y)，y与x存在函数关系为y = f (x) (1)

2）模型建立：狼所行的路程是在狼所行线路上的线积分大小。

兔子奔跑速率是狼的一半，路程也是狼的一半。

狼追击兔子的过程中，任意时刻狼的位置p 2(x, y)，兔子的位置。

狼奔袭方向始终指向兔子，于是得微分方程：

两侧对x 求导整理得：

微分方程的初值条件：

3）matlab 编程求解：利用 matlab 的ode45 函数求解微分方程(5)，并用plot 函数绘出狼追兔的轨迹。打开matlab，新建m 文件，在空白文档中键入以下内容：

function dy=weifan(x,y)

dy=zero(2,1);

dy(1)=y(2);

dy(2)=sqrt(1+y(2)^2)/2*x; (保存文件，文件名设为。

新建m 文件，在空白文档中键入以下内容：

x,y]=ode45(@weifan,[100,0.01],[0,0]);

plot(x,y(:,1))

gtext('狼的追击线路')

xlabel('x 轴(m)')

ylabel('y 轴(m)')

保存文件，点击运行，得出狼的奔袭路径的函数图象。

从图 1 可以看出：

当 y = 60时，x > 0

所以狼没有追上兔子。

五、狼追兔模型三维推广。

1、三维模型简述：

敌我双方对阵，敌方欲发射导弹按照预定轨道攻击我方目标，与此同时我方导弹部队发**一枚导弹进行拦截，要求拦截导弹始终指向敌方导弹，通过建模研究我方导弹能否在敌方导弹击中我方目标之前成功实施拦截。

2、三维模型假设：

1）我方导弹始终指向敌方导弹；(2)我放导弹和敌方导弹均是匀速率运动且已知；(3)通过雷达监控我方能掌握敌方导弹的瞬时空间位置；(4)忽略空气阻力和天气因素对模型的影响。

3、三维模型分析：

敌我双方处于不同的地面坐标和高程，以敌方导弹部队位置为坐标原点(0 0 0)建立空间直角坐标系，我方导弹部队的位置为(a b c)，我方被攻击目标的位置为(d e f )，敌方导弹的瞬时位置(x0(t) y0(t) z0(t)) 在我方的监控中，敌我双方导弹的速率分别是v0，vd，由此可以建立关于速率的微分方程；我方导弹的方向始终指向敌方导弹，敌方导弹瞬时位置已知，据此可以建立关于速度方向的微分方程组。根据这两个关系，就可以建立一个微分方程组。敌方导弹能否被拦截成功的问题就被转换成微分方程求解的问题，matlab的库函数ode45 就可以求解高阶微分方程组。

4、三维模型建立与求解。

1）设计变量：

设我方拦截导弹轨迹方程为：

2）模型建立我方导弹的瞬时速度方向可由向量表示，我方导弹始终指向敌方导弹，导弹所指方向又可以用向量(x1-x0 ,y1-y0 ,z1-z0 )表示，两个向量方向一致，可以得到两个微分方程。

我方导弹瞬时速度的大小可以用向量。

模的大小表示，可以得到一个微分方程。

由(7),(8),(9)三个微分方程可得。

微分方程组的初值条件：当t = 0 时，x1 = a， y 1= b，z1 = c

3）模型求解。

利用 matlab 的ode45 函数求解微分方程组(10)，并用plot 函数绘出导弹拦截的轨迹。打开matlab，新建m 文件，在空白文档中键入以下内容：

function dy=weifensan(t,y)

dy=zeros(3,1);

dy(1)=vd *(x (t) 0 -y(1))/sqrt((y(1)- x (t) 0 )^2+(y(2)-y (t) 0 )^2+(y(3)- z0 (t))^2);

dy(2)=vd * y (t) 0 -y(2))/sqrt((y(1)- x (t) 0 )^2+(y(2)-y (t)0 )^2+(y(3)- z0 (t))^2);

dy(3)=vd * z0 (t)-y(3))/sqrt((y(1)- x (t) 0 )^2+(y(2)-y (t) 0 )^2+(y(3)- z0 (t))^2);

保存文件，文件名设为。

新建m 文件，在空白文档中键入以下内容：

t,y]=ode45(@weifensan,[0:0.01:t_final],[a,b,c])

plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))

xlabel('x 轴')

ylabel('y 轴')

zlabel('z 轴')

grid on

hold on

t=0:0.005:t_final

x= x0(t)

z= z0 (t)

y= y0 (t)

plot3(x,y,z)

保存文件，点击运行，得出导弹拦截路径的函数图象，通过图像可以看出我方是否拦截成功。

4）三维模型的实例验证。

已知我方导弹部队位置为(10000 100000 0)，单位为米，我方被攻击目标的位置为(5000 0 5000)，敌我双方导弹的瞬时速度分别为300m/s，1200m/s，敌方导弹的瞬时位置为。

通过上述建立的三维模型，利用matlab 求解可以得到如下轨迹图像。

由图可知我方导弹拦截成功。

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