数学建模作业

1、拉格朗日中值定理如果函数满足。

1）在闭区间[a,b]上连续；

2）在开区间（a,b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点(a< 成立。

2、牛顿—莱布尼茨公式如果函数f（）在区间[a,b]上的一个原函数，则。

3、二阶常系数齐次线性微分方程

4、n阶上三角矩阵及其对应的行列式的值。

全国数学建模优秀**：

制动器试验台的控制方法分析。

摘要。本文在分析了各物理量的关系的基础上，经过严密地推导，得出了驱动电流与观测量之间的函数关系，据此建立了相关的数学模型并通过评价说明了模型的合理性和科学性。

对于问题一和问题二，在对相关物理量的充分理解下，通过简单的物理和力学公式推导，再结合相关数据对该两问进行了求解。

对于问题三，从能量的角度考虑，经过严密的公式推导，得出了驱动电流与观测量之间具有简单的线性关系，据此建立了模型。然后按照模型并结合题设得出了结果。

对于问题四，为了对问题中的控制方法进行全面科学的评价，分别从。

一、制动过程中制动器所消耗的能量差；二、实际角速度与理论角速度的偏差；三、实际制动时间与理论制动时间偏差这三方面对其进行了评价，得出了该方法存在一定的缺陷，还有待于改进的结论。

对于问题五，考虑到所设定的步长时间很短，结合微积分的理论，建立了根据前一个步长的实测制动扭矩来确定本步长驱动电流值的模型，并从能量和角速度方面对其进行了评价。

对于问题六，在问题五模型的基础上，建立了采用前两个步长的制动扭矩实测值按线性关系计算本时段中间那一瞬时的制动扭矩，然后根据**的制动扭矩设计本步长驱动电流的模型，该模型去除了滞后性的同时也保证了精度。

关键词：制动器试验台电惯量模拟控制方法微分理论。

一、问题重述。

汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。

在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。

通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。

试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。

飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m2的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为45.

7 kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。

一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 a/n·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。

由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。

评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。

现在要求你们解答以下问题：

1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 n，求等效的转动惯量。

2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.

0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？

设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？

3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。

4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。

5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。

6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。

二、问题分析。

对于问题一和问题二，该两问是对物理量的简单计算。可根据相关物理和公式推导得出。

问题三要求建立驱动电流依赖可观测量的数学模型，可观测量是瞬时转速和制动力矩，由于转速是由制动力矩和电机扭矩共同决定的，不便处理。因此建立驱动电流依赖于制动力矩的模型。试验台测试是对路试的模拟，那么在试验台测试时制动器吸收能量（机械能转化为热能）的规律、大小应与路试时相同。

因此可从能量的角度分析得到驱动电流依赖制动力矩的模型。

问题四要求对根据某种控制方法得到的数据对该方法进行评价。制动器吸收能量、制动用时、制动过程角速度变化三个方面衡量控制方法精确程度的重要指标并且计算量比较小，因此采用这三个指标对该控制方法进行评价。

设计本时段电流值的理想情况应是按本时段的制动力矩确定，但由于设计本时段时只能得到前一时段的制动力矩，因此可按前一时段的制动力矩根据问题三的模型来设计本时段驱动电流值。这样驱动电流将产生滞后，但步长取的较短，滞后造成的误差应是可以接受的。在这一问题中，制动用时这一指标的计算相对繁琐，因此从制动过程角速度变化、制动器吸收能量两方面评价该方法。

问题五中根据前一时间段的制动力矩设计本时段的驱动电流，显然有不足之处。改进模型中，因为步长时间很短，可以近似用前两个时间段制动力矩值按线性规律**本时段中间时刻的制动力矩值，然后根据**的制动力矩值设计本时段驱动电流值。

三、模型假设。

1. 假设不考虑电动机电流的波动。

2．假设每个步长采集的数据是该步长开始时那一瞬时的值。

3．假设电动机的机电时间常数远小于所设定的步长。

4. 假设不考虑制动过程中其他阻力（如空气阻力）对飞轮能量的消耗。

四、定义与符号说明。

五、问题一的求解。

该问题是一个等效转动惯量计算的问题。它是从能量的角度来考虑的，在保证能量不变的前提下，再根据相应的转换公式得到等效转动惯量。

在本题中，就是要保证车轮所承受载荷在车辆平动时具有的能量（平动动能）与等效的试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量**动动能）相等。根据平动动能的表达式：和转动动能的表达式：

，可得到：

其中为载荷，为平动速度，为等效转动惯量，为车轮半径，为重力加速度。

根据题目中假设了路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。则有车轮角速度：

将式代入式，求解得到：

代入本题所给数据，取9.8 m/s2。得到= 51.99888571428570 kg·m2。这里可近似取kg·m2。

六、问题二的求解。

根据本题中所给物理量，可得飞轮质量的计算式为：

其中，为钢材密度，为飞轮外径，为飞轮内径，为飞轮厚度。

再根据飞轮即圆筒的转动惯量的公式为[1]：

将式代入式，可得：

其中，为飞轮转动惯量。代入本题中所给数据，计算可得各尺寸飞轮的转动惯量，见表一：

表一各尺寸飞轮的转动惯量单位：kg·m2

根据上表，将三个飞轮的惯量分别取为 kg·m2。基础惯量为10 kg·m2，将其进行简单的排列组合，可以得到机械惯量有=8种，分别为 kg·m2。

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