蝴蝶模型。
1、蝴蝶模型与任意四边形。
在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。
推导：由等积变形模型可知：
2、蝴蝶模型与梯形。
推导：① 同上。
过点a作三角形abc的高，过点d作
bcd的高。
两平行线之间高相等）
3、蝴蝶模型与平行四边形。
一） ①推导：① 同上。
同底等高）二） 即：对角平行四边形面积乘积相等。
在平行四边形abcd内作两条分别平行于两组相对边的线段gh、ef）
推导：连接ge、eh、hf、fg，过点e作em垂直于gh于点m
同理可得：
由蝴蝶定理可知：
4、蝴蝶模型与长方形。
2） 即：对角长方形面积乘积相等。
5、蝴蝶模型与正方形。
子母图”——两共线相邻的正方形。
在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d
重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。
例1：如下图所示，在梯形abcd中，对角线bd，ac相交于点o，△aod的面积是6，△aob的面积是4，那么梯形abcd的面积是多少？
分析：梯形abcd是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形boc和三角形doc的面积，进而可以求出梯形abcd的面积。
解：由蝴蝶定理可知：
答：梯形abcd的面积是25。
例2：如图，求阴影部分的面积。（单位cm2）
分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。
解：（cm2）
答：阴影部分的面积为14平方厘米。
例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接ac，所以ac平行于ge，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形aog和三角形coe面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形gce的面积，即小正方形面积的一半。
解：连接ac
ac∥ge由梯形的蝴蝶定理可知：
（cm2）答：阴影部分的面积为18平方厘米。
练习题。1. 如图，某公园的外轮廓是四边形abcd，被对角线ac，bd分成四个部分，△aob面积为1平方千米，△boc面积为2平方千米，△cod的面积为3平方千米。
公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米？
2. 如图，长方形abcd被ce、df分成四块，已知其中3块的面积分别为平方厘米，求余下的四边形ofbc的面积。
3. 如图，在长方形abcd中，△abp的面积为30 cm2，△cdq的面积为80 cm2，求阴影部分的面积。
4. 如图，四边形abcg和cdef都是正方形，dc等于12厘米，cb等于10厘米，求阴影部分的面积。
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