第二讲二元一次不定方程。
一、学习目标：掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。
二、基础知识：我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。
在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。
三、例题解析：
一）基本方法。
例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？
分析：本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。
设小明付了x枚贰角和y枚伍角。
列方程，得2x+5y=49
方法一。1、利用奇偶性。49是奇数，2x是偶数，那么5y必定是奇数。这样，y只能取1，3，5，7，9这五个数。
2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有，而x至多为10，那么5y不小于49—2×19=29，这样，可得y大于6。
方法二观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。
由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。
不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决。
例2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？
分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。注意加了限制条件以后，答案的变化。
试一试：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日？
例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？
分析：根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。
例4 、一个同学发现自己2023年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生2023年时多少岁？
分析与解：设他出生于19xy年，那么。
1991—19xy=1+9+x+y
1991—（1900+10x+y）=10+x+y
91—10x—y=10+x+y
二）能力拓展。
例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。
分析：路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。
试一试：一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。已知这两个三位数之差为414，求原来的两位数。
例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高，将这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到9个长方体，这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。
分析与解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，分析可得，横切两刀，增加了4ab的面积，竖切两刀增加了4ac的面积，所以可列方程：4ab+4ac=624。
三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。
练习。一、基本题。
1、求方程6x+9y=87的自然数解。
2、求方程2x+5y=24的自然数解。
3、大客车有48个座位，小客车有30个座位。现在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？
4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元，问大小盒子各买了多少个？
5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多54，求原来的两位数。
6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数。
7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于10，问两种盒子各有多少个？
二、综合题。
8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少？
9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有一个班的学生（不足70人）来开会。一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。
结果平均每个学生坐1.35个座位。求有多少个学生？
思考题。10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
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