蝴蝶模型和燕尾定理练习题。
1、如图，已知，，三角形的面积是，求阴影部分面积。
解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积。 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，法一)连接，因为，，三角形的面积是30，所以，．
根据燕尾定理，，
所以，所以阴影部分面积是．
(法二)连接，由题目条件可得到，所以，而．所以阴影部分的面积为．
2、(年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在中，，，与相交于点，若的面积为，则的面积等于 ．
解析】 方法一：连接．
由于，，所以，．
由蝴蝶定理知，所以．
方法二：连接设份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以。
3、如图所示，在四边形中，，，四边形的面积是，那么平行四边形的面积为___
解析】 连接，根据燕尾定理， ,设，则其他图形面积，如图所标，所以。
4、是边长为厘米的正方形，、分别是、边的中点，与交于，则四边形的面积是___平方厘米．
解析】 连接、，设份，根据燕尾定理得份，份，则份，份，所以。
5、（2024年清华附中入学测试题）如图，四边形是矩形，、分别是、上的点，且，，与相交于，若矩形的面积为，则与的面积之和为 ．
解析】 (法1)如图，过做的平行线交于，则，所以，，即，所以．
且，故，则．
所以两三角形面积之和为．
法2)如上右图，连接、．
根据燕尾定理，而，所以，则，所以两个三角形的面积之和为15．
6、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是，，，则阴影四边形的面积是多少？
解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算。
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为，和交于，则，再连结．
所以三角形的面积为3.设三角形的面积为，则，所以，四边形的面积为．
方法二：设，根据燕尾定理，得到，再根据向右下飞的燕子，有，解得四边形的面积为。
7、如下图，正方形 abcd 的面积是a ，正三角形bpc 的面积是 b，求阴影三角形bpd 的面积．
分析】 连接 ac交 bd于o 点，并连接po ．如图所示，
可得p o/ /dc ，所以三角形dpo 与三角形 cpo 面积相等(同底等高)，所以有：
8、已知四边形abcd和cefg都是正方形，且正方形abcd的边长为10厘米，那么图中阴影三角形bfd的面积为多少平方厘米？
分析】 连接fc，有fc平行bd，设bf与dc连接于o，那么在梯形蝴蝶中有。
9、如图，已知在平行四边形abcd中，ab=16，ad=10，be=4，那么fc的长度是多少？
分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以。
10、四边形abcd和四边形cefg是两个正方形，bf与cd相交于h,已知ch:dh=1:2, ,求五边形abefd的面积。
分析】因为ch:dh=1:2，所以，即=2×6=12,所以正方形abcd面积为36，bc=6
又，所以ch=2
连接cf,由蝴蝶定理得：
设小正方形边长为，则得。
11、如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积．
分析】 设与的交点为，连接、．
由蝴蝶定理可知，而，，所以，故．
由于为中点，所以，故，．由蝴蝶定理可知，所以，那么（平方厘米）．
12、点、分别为直角梯形两边上的点，且、、彼此平行，若，,，求阴影部分的面积．
分析】 连接、．由于、、彼此平行，所以四边形是梯形，且与该梯形的两个底平行，那么三角形与、三角形与的面积分别相等，所以三角形的面积与三角形的面积相等．而三角形的面积根据已知条件很容易求出来．
由于为直角梯形，且，,，所以三角形的面积的面积为：．所以三角形的面积为25．
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