11．如图1－48所示，把矩形纸片abcd沿ef折叠，使点b落在边ad上的点b′处，点a落在点a′处．
（1）求证b′e＝bf；
（2）设ae＝a，ab＝b，bf＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．
1.2专题资料：直角三角形。
知识要点：(看课本14-21)
1.勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理逆定理： 如果一个三角形较小两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
5.直角三角形全等的一种判定方法： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。“斜边、直角边” “hl”
例题分析。例1 （将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
a．3cm b．6cm c．3cm d．6cm
思路分析：过另一个顶点c作垂线cd如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
点评：此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．
例2.如图，∠acb = adb = 90°，ac = ad，e是ab上的一点。求证：ce = de。
分析：这里要证明两次三角形全等。
巩固练习。1.如图1，在中，，等腰直角三角形的斜边在边上，求的长．
2. 如上图2 在中，，的垂直平分线交于点，交于点．如果，求的长．
3.如图，ad是∠bac的角平分线，de⊥ab，df⊥ac，bd = cd。求证eb = fc
4．如图，在△abc中，∠a=45°，∠b=30°，cd⊥ab，垂足为d，cd=1，则ab的长为（ ）
a．2 b．2 c． +1 d． +1
5、如图，在△abc中，ab = ac , 点d在bc上 , dac = 90°, ad = cd.
求：∠bac的度数。
6、已知：∠abc=∠adc=90度，e是ac中点。
求证：（1）ed=eb（2）图中有哪些等腰三角形？
7、如图，在△abc中，∠b=∠c，d、e分别是bc、ac的中点，ab=6，求de的长。
8. 如图3，，且，求和的长．
9.如图4，在△abc中，bd＝dc，若ad⊥ac，∠bad＝30°．求证：ac＝ab．
1.2.1参***。
1．c [提示：可以举出例子说明a，b，d为假命题．]
2．b [提示：设三边长分别为a，a，2a，则a2+（a）2＝（2a）2，为直角三角形．
3．d [提示：∠a＝90°，∠b＝30°，∠c＝60°．]
4．c [提示：如图1－50（1）所示，已知ab＝a′b′，bc＝b′c′，ad⊥bc于点d，a′d′上b′c′于d′点，且ad＝a′d′，根据hl可判定rt△abd≌rt△a′b′d′，从而证得∠b＝∠b′．如图1－50（2）所示，可知此时两角互补．]
5．b [提示：利用hl可证明．]
6．a 或 a[提示：由题意可以画出如图1—51所示的两种情况．]
7．60°[提示：b2=3a2，c2=4a2 c2=a2+b2，b=a，c=2a．
8．40+40 [提示：在rt△acp中，apc=45°，ap=40 ,∴ac=pc=40．在rt△pcb中，∠pbc=30°，bc=40ab=ac+bc=40+40. ]
9．解：∵ad为底边上的高∴bd=cd=bc=×=cm)．在rt△abd中由勾股定理，得ad===2cm
10．解：(1) ∵cbd= ∠fbd(轴对称图形的性质)，又∠cbd=∠adb(两直线平行，内错角相等)，∴fbd=∠adb(等量代换)．∴eb=ed(等角对等边)．设ae=xcm，则de=(16一x)cm，即eb=(16一x)cm，在rt△abe中，ab2=be2一ae2即l22=(16一x)2一x2，解得x=3．5．即ae的长为3．5 cm． (2)ba⊥ad，∴s△bde=deba=×(1 6—3.5)×12=75(cm2)．
11．(1)证明：由题意得b′f=bf，∠b′fe=∠bfe．在矩形abcd中，ad∥bc，∠b′ef=∠bfe，∴∠b′fe=∠b′ef，∴b′f=b′e．∴b′e=bf． (2)解：a，b ,f三者关系有两种情况．①a，b,c三者存在的关系是a2十b2=c2.
证明如下：连接be，则be= b′e．由(1)知b′e=bf=c∴be=c．在△abe中，∠a=90°∴ae2+ab2=be2∵ae=a ab=b，∴a2+b2=c2．②a．b，c三者存在的关系是a+b>c证明如下：连接be，则be=b′e．由(1)知b′e=bf=c，be=f．在△abe中，ae+ab>be∴a+b>c.
12．解：(1)c [提示：认真观察，用圆规或直尺进行比较，此方法。
适用于标准作图．] 2)牧童c的划分方案不符合他们商量的．
划分原则．理山如下：如图1－52所示，在正方形defg中，四边。
形henm，mnfp，dhpg都是矩形，且hn=np=hg，则en=nf， s矩形henm=s矩形mnfp，取正方形边长为2．设hd=x，则he=2一x,在 rt△hen和rt△dhg中，由hn=hg，得。
eh2+en2=dh2+dg2，即(2一x)2+l2=x2+22，解得x =,he=2－ x =,s矩形henm=s矩形mnfp=1×=,s矩形dhpg≠s矩形hemn
∴牧童c的划分方案不符合他们商量的原则．
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