人教版】2024年07月。
问题1：在一张纸板上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，怎样才能剪下另一个与之完全相同的多边形？
提示：剪的时候注意各边相等、各角相等。
小结1：全等形形状、大小相同，能够完全重合，用“≌”表示。
全等形各条边都相等，各个角都相等；
问题2：在一张纸板上剪下两个全等的三角形，标上△abc和△def,将△abc做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后△abc和△def还会重合吗？还全等吗？
小结2：任意放置时，并不一定完全重合，只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合。
△abc和△def全等，说明三条边对应相等，三个内角对应相等，但要注意对应顶点写在相对应的位置，记作△abc≌ .
问题3：全等形的对应边相等，对应角相等，那全等三角形呢？
小结3：1.全等三角形对应边相等；
2.全等三角形对应线段（边，中线，高，角平分线）相等；
3.全等三角形对应角相等；
4.全等三角形周长、面积相等。
如图1所示，△acf≌△dbe，∠e=∠f，若ad=20cm，bc=8cm，你能求出线段ab的长吗？（ab=6）
1.在下图中，两个三角形分别对应全等，试找出对应顶点，并用符号语言表示全等的三角形。
对应顶点： .
符号语言：在图11.1-1中，△abc≌ ；在图11.1-2中。
2.如图2所示，△abc≌△aec，∠b=30°，∠acb=85°，求出△aec各内角的度数。（aec=30°，∠eac=65°，∠eca=85°）
由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：
1）有公共边的，公共边一定是对应边；
2）有公共角的，公共角一定是对应角；
3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.
问题：对于图中给定的△abc，再画一个△a′b′c′，使a′b′=ab，b′c′=bc，c′a′=ca.把画出的△a′b′c′剪下来，放在△abc上，它们能完全重合吗？
说明了什么？
拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证。
画一个△a′b′c′，使a′b′=ab′，a′c′=ac，b′c′=bc：
1.画线段取b′c′=bc；
2.分别以b′、c′为圆心，线段ab、ac为半径画弧，两弧交于点a′；
3.连接线段a′b′、a′c′.
4.把画出的△a′b′c′剪下来，放在△abc上。
小结：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“sss”）.
例1】如课本图11.2─3所示，△abc是一个钢架，ab=ac，ad是连接点a与bc中点d的支架，求证△abd≌△acd.
证明：∵d是bc的中点，bd=cd
在△abd和△acd中。
△abd≌△acd（sss）.
1.已知如图，ac=fe，bc=de，点a、d、b、f在直线上，ad=fb（如图所示），你能用“边边边”证明△abc≌△fde吗？
1.如图所示，ab=df，ac=de，be=cf，证明△abc≌△dfe.
2.如图，△abc是等腰三角形，ad是bc边上的中线，求证：∠bad=∠cad，ad⊥bc.
注：等腰三角形三线合一。
边边边”判定法与三角形稳定性有什么关系吗？
答：有关系，只要一个三角形三边长度确定了，则这个三角形的形状大小就完全确定了，这就是三角形的稳定性。
1.尺规作图：作一个角等于已知角∠aob.
已知：∠aob.
求作：∠a1o1b1，使∠a1o1b1=∠aob.
作法：（1）作射线o1a1；（2）以点o为圆心，以适当长为半径画弧，交oa于点c，交ob于点d；（3）以点o1为圆心，以oc长为半径画弧，交o1a1于点c1；（4）以点c1为圆心，以cd长为半径画弧，交前面的弧于点d1；（5）过点d1作射线o1b1，∠a1o1b1就是所求的角。
2.连接cd、c1d1，回忆作图过程，你认为△cod和△c1o1d1全等吗？据此你能得到什么规律？
小结：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“sas”）
如课本图11.2-6所示有一池塘，要测池塘两侧a、b的距离，可先在平地上取一个可以直接到达a和b的点，连接ac并延长到d，使cd=ca，连接bc并延长到e，使ce=cb，连接de，那么量出de的长就是a、b的距离，为什么？
证明：在△abc和△dec中。
△abc≌△dec（sas）
ab=de我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？
1.如图，ab=ac，be=cd，求证：△abe≌△acd.
2.如图，ac=a'c'，ab=a'b'，ac//a'c'，求证：△abc≌△a'b'c'.
3.如图，△abc是等腰三角形，ad是△abc的角平分线，求证：bd=cd，ad⊥bc.
注：等腰三角形三线合一。
1.证明两个三角形全等的思路是：首先分析条件，观察已经具备了什么条件；然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法，来确定还需要证明哪些边或角对应相等，再设法证明这些边和角相等。
2.挖掘图形特征，寻找隐含条件(公共边相等，公共角相等，对顶角相等，两直线平行内错角、同位角相等)．
小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠edh=∠fdh，ed=fd.
问题1：小明不用测量就能知道eh=fh吗？与同伴交流。
答案：能，因为根据“sas”，可以得到△edh≌△fdh，从而eh=fh
问题2：如果∠edh=∠fdh，∠ehd=∠fhd，能得到eh=fh吗？
先任意画一个△abc，再画出一个△a′b′c′，使a′b′=ab，∠a′=∠a，∠b′=∠b（即使两角和它们的夹边对应相等），把画出的△a′b′c′剪下，放到△abc上，它们全等吗？
尺规作图：已知：△abc
求作：△a′b′c′，使a′b′=ab，∠a′=∠a，∠b′=∠b：
作法：1)画a′b′=ab；
2)作∠da′b′=∠a；
3)在a′b′的同一旁作∠eba′=∠b，a′d与b′e交于点c′。
小结1：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“asa”）.
追问：在△abc和△def中，∠a=∠d，∠b=∠e，bc=ef（课本图11.2─9），△abc与△def全等吗？
小结2：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成aas）.
如课本图11.2─10，d在ab上，e在ac上，ab=ac，∠b=∠c，求证：ad=ae.
证明：在△acd与△abe中，△acd≌△abe（asa）
ad=ae1.如图，ac=a'c'，bc=b'c'，ac//a'c'，求证：△abc≌△a'b'c'.
2.如图，bd⊥ab于b，cd⊥ac于c，ad平分∠bac，求证：bd=cd.
如图，bo=co，∠b=∠c，求证：
bd=ce.
ad=ae.
三角对应相等的两个三角形全等吗？
三角对应相等的两个三角形不一定会全等，拿出三角板进行说明，如图3，下面这块三角形的内外边形成的△abc和△a′b′c′中，∠a=∠a′，∠b=∠b′，∠c=∠c′，但是它们不全等。（形状相同，大小不等）.
1.已知△abc≌△a′b′c′，且∠a=48°，∠b=33°，a′b′=5cm，求∠c′的度数与ab的长。
解：在△abc中，∠a+∠b+∠c=180°
∠c=180°-（a+∠b）=99°
△abc≌△a′b′c′，∠c=∠c′，∠c′=99°，ab=a′b′=5cm.
2.已知：如图1，在ab、ac上各取一点e、d，使ae=ad，连接bd、ce相交于点o，连接ao，∠1=∠2.
求证：∠b=∠c.
证明：在△aeo与△ado中，ae=ad，∠2=∠1，ao=ao，△aeo≌△ado（sas），∴aeo=∠ado.
又∵∠aeo=∠eob+∠b，∠aod=∠doc+∠c.
又∵∠eob=∠doc（对应角），∴b=∠c.
3.如图2，已知∠bac=∠dae，∠abd=∠ace，bd=ce.求证：ad=ae.
证明：∵∠bac=∠dae
∠bac-∠dac=∠dae-∠dac即∠bad=∠cae
在△abd和△ace中，bd=ce，∠abd=∠ace，∠bad=∠cae，△abd≌△ace（aas），ad=ae.
1.如图3，点e在ab上，ac=ad，∠cab=∠dab，△ace与△ade全等吗？△acb与△adb呢？请说明理由。
答案：△ace≌△ade，△acb≌△adb，根据“sas”.]
2.如图4，仪器abcd可以用来平分一个角，其中ab=ad，bc=dc，将仪器上的点a与∠prq的顶点r重合，调整ab和ad，使它们落在角的两边上，沿ac画一条射线ae，ae就是∠prq的平分线，你能说明其中道理吗？
小明的思考过程如下：
△abc≌△adc→∠qre=∠pre
你能说出每一步的理由吗？
3.如图5，斜拉桥的拉杆ab，bc的两端分别是a，c，它们到o的距离相等，将条件标注在图中，你能说明两条拉杆的长度相等吗？
八年级数学学案
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