武汉博奥学校。
初二数学。学校。
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八年级数学暑假讲义。
目录。第一讲与三角形有关的线段。
第二讲与三角形有关的角。
第三讲多边形及其内角和
第四讲全等三角形。
第五讲全等三角形的判定(一)
第六讲全等三角形的判定(二)
第七讲全等三角形的判定(三）
第八讲全等三角形的判定（四）
第九讲全等三角形的判定综合。
第十讲角的平分线的性质。
第十一讲全等三角形复习测试题。
第十二讲轴对称。
第十三讲等腰三角形。
第十四讲等边三角形。
第十五讲测试。
第十六讲试卷评讲及复习。
第一讲全等三角形。
一） 知识要点。
1、 全等三角形的有关概念。
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△abc≌△def。当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，△abc和△def全等，点a与点d，点b与点e，点c与点f是对应顶点，记作△abc≌△def。其中ab与de，ac与df，bc与ef是对应边，∠a与∠d，∠b与∠e，∠c与∠f是对应角。
规律方法小结：在全等三角形中找出对应角和对应边，关键是先找出对应顶点，然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角。全等三角形的面积一定相等，但是面积相等的三角形不一定是全等三角形。
常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。
1）平移型：如下左图，若△abc≌△def，则bc=ef。将△def向左平移得到下右图，则仍有bc=ef，在右图中，若知bc=ef，则可推出be=cf。
2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点a，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点o，有一对对顶角∠1=∠2。
3）翻折型：如上右图，两对三角形的全等属于翻折型，其中图1中有公共边ab，图2中有公共角∠a。
知识延伸：熟悉这些基本图形，有利于我们寻找三角形全等的隐含条件，启发我们的证明思路。
2、 全等三角形的性质。
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
知识延伸：（1）全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依据；
2）全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。
规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：
1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；
4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。
二） 典型例题。
例1：若把△abc绕a点顺时针旋转一定的角度，就得到△ade，请写出图中所有的对应边和对应角。
规律·方法：全等三角形的书写要注意对应顶点写在对应的位置上，同时，在书写对应边时，直接按照对应边来写，但书写对应角时，就必须特别注意结合图形，尤其是角的表示。
例2：如图，已知△abd≌△ace。试说明be=cd，∠dco=∠ebo。
规律·方法：全等三角形的性质不仅有：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。
同时，我们还发现：（3）全等三角形的周长相等；（4）全等三角形的面积相等；（5）全等三角形中，对应边上的高，对应边上的中线，对应角的平分线也分别相等。
例3：如图，△adf≌△cbe，且点e，b，d，f在一条直线上，判断ad和bc的位置关系，并加以说明。
例4：如图，在△abc中，d，e分别是边ac，bc上的点，若△adb≌△edb≌△edc，则∠c的度数为（ ）
a、150b、200
c、250d、300
例5：如图，△abe和△adc是△abc分别沿ab，ac边翻折1800形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则求∠α的度数。
例6：如图，已知△abe≌△acd，∠1=∠2，∠b=∠c，指出其他的对应边和对应角。
例7：如图，已知△abc≌△dbe，ab⊥cd，de的延长线交ac于点f，那么df⊥ac吗？说明理由．
例8：如图，已知△abe≌△acd．且ab =ac，求证：
(1) ∠bad= ∠cae; (2)bd= ce.
三） 反馈练习。
1．如图，△abc≌△dcb，若∠l与∠2是一组对应角，则其他的对应角有对应边有。
2．如图，△ab≌c△a′b′c′，且点b，b′，c，c′在同一直线上，则bb′=_若∠a=80，则∠ab′dc
3．如图，把△abc沿直线bc翻折180，得到△dbc，则△abc与△dbc的关系是。
4．如图，把△abc绕点a旋转一定的角度得到△aed，那么△abcaed，其中对应边有对应角有。
5．（南通）已知：如图，△oad≌△obc，且∠o=70，∠c =25，则∠aeb
6．如图，△abd≌△acd，ab=ac，则∠badbdadb= 度。
7．如图，若△ab≌c△edc，且∠b=58，cd=2cm，点b，c，e在同一直线上，则∠e= ，bc= cm.
8．若△abc≌△def，△def的周长为32cm，de= 9cm,ef= 12cm，则ab= cm,bc=
___cm，accm.
9．如图，直角△abc沿直角边bc所在的直线向右平移得到△def，则下列结论中错误的是( )
a.△abc≌△def b.∠def= 90 c．ac =df d．ec= cf
10.下列说法，(1)形状相同的两个三角形是全等三角形；(2)面积相等的两个三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周长相等，面积相等；(4)若△abc≌△def，则∠a=∠d，ab =ef.其中正确的个数有( )
个 b.2个 c．3个 d．4个
11．如图所示，△abc≌△aef，ab=ae，∠b=∠e，则下列结论：①ac=af;②∠fab=∠eab；③ef =bc;④∠eab=∠fac.其中正确结论的个数是( )
个 b.2个 c.3个 d.4个。
12.如图，在△abc中，d、e分别是边ac、bc上的点，若△adb≌△edb≌△edc，则。
c的度数为( )
a．15 b．20
c．25 d．30
13．如图，△abc≌△cda，下列各组边中，不是对应边的是( )
a．ab与dc 与ca
与cb 与dc
14.如图，△abc≌△ade，点b的对应点是点d．若∠bad= 100，∠cae= 40，求∠bae的度数．
第二讲全等三角形的判定（一）
一） 知识要点。
1、三角形全等的判定方法一：sss
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“sss”）。
书写格式：在△abc和△a’b’c’中，△abc≌△a’b’c’（sss）
规律方法小结：
1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。
2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题的一种思想方法。
二） 典型例题。
例1.在△abc中，ab=ac，ad是三角形的中线。
求证：△abd≌△acd
例2．已知：如图，a、c、f、d在同一直线上，af＝dc，ab＝de，bc＝ef，求证：△abc≌△def．
例3.如图，点a，b，c，d在同一直线上，且ad =bc， ae =bf，ce= df.求证：df//ce.
例4.如图，已知△abe≌△acd，求证：∠l=∠2.
例5.如图，点a，c，b，d在同一条直线上，且ac=bd，am= cn，bm= dn.求证：am∥cn，bm∥dn．
例6. 已知：如图，四边形abcd中，ab = cb，ad= cd，求证：∠a=∠c．
例7．如图所示，ab=ae．bc= ed，cf=fd．ac=ad，求证：∠baf= ∠eaf.
三）练习：1．如图，若ab =ac，bd= cd，∠b =62，则∠bac度．
2．如图，已知ab= cd，ad= cb，还有条件可判定△abc≌△cda，其依据是 ．
3．如图，在△abd和△ace中，已知ab =ac，bd = ce，ad =ae，若∠l= 20，则∠2= ．
4．如图，在四边形abcd中，ac与bd交于点0，且ao= bo，co =do，ad= bc，则图中全等三角形有对．
5．如图，已知ab=bc．ad=cd，∠abc=80，∠adc= 50，则∠a= ，c= ．
6．如图，已知ab =ac，点d为bc的中点，下列结论：(1)△abd≌△acd；(2) ∠b=∠c;(3)ad
平分∠bac; (4) ad⊥bc.其中正确的个数是( )
a．1个 b．2个 c.3个 d.4个。
7．下列说法：(1)周长相等的两个等边三角形全等；(2)有三个角对应相等的两个三角形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等；(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等．其中正确说法的个数是( )
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