高二数学期末复习三。
圆锥曲线综合问题）
一、知识回顾。
1．直线与圆锥曲线的位置关系：
在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解。
注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“”.
直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理。
2．弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点a、b，且分别为a、b的横坐标，则，若分别为a、b的纵坐标，则。
若弦ab所在直线方程设为，则＝。
注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。
3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化。
4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点。
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等。
二、典型例题。
例1．（1）椭圆上的点到直线的最短距离为；
2）过抛物线焦点的直线交抛物线于a、b两点，已知δabo重心的横坐标为3（o为坐标原点），则|ab|=_10___
3*）已知直线与椭圆相交于a、b两点，且线段ab的中点在直线上，则此椭圆的离心率为。
4*）若椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为。[课本2-1 p.64第6题]
5）以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于a、b两点，则|ab|的值为。
6）p是双曲线的右支上一点，m、n分别是圆和。
上的点，则|pm|－|pn|的最大值为 9
解：p是双曲线的右支上一点，m、n分别是圆和]
例2．如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点f，且与抛物线交于a、b两点。
ⅰ）求抛物线的焦点f的坐标及准线l的方程；
ⅱ）若a为锐角，作线段ab的垂直平分线m交x轴于点p，证明。
为定值，并求此定值。
解：（ⅰ解：设抛物线的标准方程为，则，从而因此焦点的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。
ⅱ）解法一：如图（21）图作ac⊥l，bd⊥l，垂足为c、d，则由抛物线的定义知。
fa|=|fc|,|fb|=|bd|.
记a、b的横坐标分别为xxxz，则。
fa|＝|ac|＝解得。
类似地有，解得。
记直线m与ab的交点为e，则。
所。以。故。
解法二：设，，直线ab的斜率为，则直线方程为。
将此式代入，得，故。
记直线m与ab的交点为，则，故直线m的方程为。
令y=0,得p的横坐标故。
从而为定值。
例3．在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线c，动点p在c上，c在点p处的切线与轴的交点分别为a、b，且向量。
求：（ⅰ点m的轨迹方程； （的最小值。
解： 椭圆方程可写为： +1 式中a>b>0 , 且得a2=4,b2=1,所以曲线c的方程为：
x2+ =1 (x>0,y>0). y=2 (0设p(x0,y0),因p在c上，有0y=－(x－x0)+y0 . 设a(x,0)和b(0,y),由切线方程得 x= ,y= .
由= +得m的坐标为(x,y), 由x0,y0满足c的方程，得点m的轨迹方程为：
=1 (x>1,y>2)
ⅱ)|ab|2= x2+y2, y2= =4+ ,ab |2= x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1= ,即x=>1时，上式取等号。故|ab|的最小值为3.
三、课后作业。
1．直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是；
2．如果椭圆弦被点a（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是。
3．圆心在抛物线=2上，且与轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是。
4．过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于m、n两点，以mn为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 2 ．
5．如图，b地在a地的正东方向4 km处，c地在b地的北偏东。
30°方向2 km处，河流的没岸pq（曲线）上任意一点到a的距离比到b的距离远2 km.现要在曲线pq上选一处m建一座码头，向b、c两地转运货物。经测算，从m到b、m到c修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是___5a万元___
6．若椭圆的左、右焦点分别为f1、f2，线段f1f2被抛物线的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为。
7．已知点a（0，1）是椭圆上的一点，p点是椭圆上的动点，则弦ap长度。
的最大值为。
8．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为。
9．设双曲线的中心在原点，准线平行于轴，离心率为，且点p（0，5）到此双曲线上的。
点的最近距离为2，求双曲线的方程。
答案：或。10．设抛物线的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛物线的准线上，且bc∥轴，证明直线ac经过原点。[课本2-1 p.61第6题]
证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为f (，0)，所以经过点f的直线的方程可设为。
4分。代入抛物线方程得。
y2 －2pmy－p2 = 0，若记a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以。
y1y2 = p28分。
因为bc∥x轴，且点c在准线x = 上，所以点c的坐标为（－，y2），故直线co的斜率为。
即k也是直线oa的斜率，所以直线ac经过原点o．
12分。证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为e，过a作ad⊥l，d是垂足．则。
ad∥fe∥bc． …2分。
连结ac，与ef相交于点n，则。
6分。根据抛物线的几何性质，8分，即点n是ef的中点，与抛物线的顶点o重合，所以直线ac经过原点o． …12分。
11．直线与双曲线交于、两点。（1）当为何值时，、在双曲线的右支上？（2）求ab的长；（3）当为何值时，以ab为直径的圆过坐标原点？
课本2-1 p.64第11题]
答案：（1）；（2）；（3）.
12．在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
1)求圆的方程；
2)试**圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2，即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8
联立方程①和②组成方程组解得。
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2) =5，∴a2=25，则椭圆的方程为1
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点q，使得该点到右焦点f的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点f为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=，y=
即存在异于原点的点q(，)使得该点到右焦点f的距离等于的长。
13*．设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
ⅰ）证明；ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．
ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中。
由于点在椭圆上，有，解得，从而得到，直线的方程为，整理得。
由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，过点作，垂足为，易知，故。
由椭圆定义得，又，所以。
解得，而，得，即．
ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组。
的解．当时，由①式得。
代入②式，得，即，于是，
若，则．所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．
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