1. 已知总体x～b(1，p)，x1，x2，…，xn是x的一个样本，求。
(1) x1，x2，…，xn的联合分布律；
(2) 的分布律；
(3) 三。
解：因为x的分布律为。
且x1，x2，…，xn均于x独立同分布，所以。
（1）x1，x2，…，xn的联合分布律为。
（2）因为，所以。
（3）因为，所以。
2. 从总体n(52，6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，计算样本均值落在50.8到53.8之间的概率．
解：因为x~n(52，6.32)，所以，3. 某种灯管寿命x（以小时计）服从正态分布x ～ n(， 2)，为来自总体x的样本均值．
(1) 求与的偏差大于的概率．
(2) 若未知， 2 = 100，现随机取100只这种灯管，求与的偏差小于1的概率．
解：因为x～n(， 2)，，所以。
(2) 因为 2 = 100，n=100，，所以。
4. 在天平上反复称量重量为w的物体，每次称量结果独立同服从n(w，0.04)，若以表示n次称重的算术平均，则为使，n至少应该是多少？
解：x1，x2，…，xn为称重的结果，则x1，x2，…，xn相互对立且均服从n(w，0.04)，于是，欲使，须使，即。
解得查表得。
由于是递增函数，须使解得n>15.366,故n至少为16.
5. 从正态总体中抽取样本x1，x2，…，x10
(1) 已知 = 0，求；
(2) 未知，求．
解：（1）因为xi～n(0，0.5 2)，，即，令。则。由于。
查表知，所以。
(2) ）因为xi～n(，0.5 2)，即，所以。
, 查表知，所以。
4.解：(1)由归一性知：
1=, 故a=4
2)p=03)p=
6 解：x的所有可能取值为0,1,2,y的所有可能取值为0,1,2, 3.
p=0.53=0.125; 、p=0.53=0.125
p=, p=
p=0.53=0.125, p==0.53=0.125
x,y 的分布律可用**表示如下：
7. 解：
8. 解：
所以 c=21/4
13. 解： (1) 因为所以。
2) ，则，经查表得。
即，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。
3) ，则，即，经查表知，故，即；
20. 解： (1)
因为。所以。
2) ，因为，所以。
当时，， 当时，所以，因为，所以。
5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
解：显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法：
法一：分两种情况考虑： +
其中：为恰有1双配对的方法数。
法二：分两种情况考虑： +
其中：为恰有1双配对的方法数。
法三：分两种情况考虑： +
其中：为恰有1双配对的方法数。
法四：先满足有1双配对再除去重复部分： -
法五：考虑对立事件： -
其中： 为没有一双配对的方法数。
法六：考虑对立事件：
其中：为没有一双配对的方法数。
所求概率为
13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？
解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。
设a=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，b=“两件均为不合格品”；，14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设a=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，b=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得。
由贝叶斯公式得。
15．将两信息分别编码为a和b传递出去，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.01，信息a与信息b传送的频繁程度为2：
1，若接收站收到的信息是a，问原发信息是a的概率是多少？
解：设m=“原发信息是a”，n=“接收到的信息是a”，已知。
所以。由贝叶斯公式得。
18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？
解：设a=“甲射击目标”，b=“乙射击目标”，m=“命中目标”，已知p(a)=p(b)=1, 所以。
由于甲乙两人是独立射击目标，所以。
19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.
1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问：
(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？
(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？
解：设ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.
1）根据题意，p(a1)=0.7，p(a2)=0.8，p(a3)=0.9，p(b1)=0.7,p(b2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为。
p(a1a2a3)= p(a1)p(a2)p(a3)=
第二种工艺加工得到合格品的概率为。
p(b1b2)= p(b1)p(b2)=
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而p(b1)=p(b2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为。
p(b1b2)= p(b1)p(b2)=
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。
1. 设总体服从几何分布，分布律为，()求的矩估计量．
解：因为，所以x的一阶矩。
用样本的一阶a1=代替总体x的一阶矩e(x)得到。
所以的矩估计量为。
4 设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的简单随机样本，求和的矩估计量．
解：总体x的一阶为。
总体x的二阶为。
用样本的一阶、二阶矩a1和a2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到。
解得和的矩估计量为。
6. 设总体的概率密度为，今从x中抽取10个个体，得数据如下：
试用最大似然估计法估计．
解：设x1，x2，…，xn为总体x的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为。
当时，，令。
解得。考虑到。
所以，θ的最大似然估计值为。
将数据代入计算，θ的最大似然估计量为0.000858
8. 设是取自总体n(，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为的无偏估计量，并确定最有效的一个．，
证明：因为独立均服从n(，1)，且。
所以，，均为的无偏估计量。又因为。
所以最有效。
11. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为。
设干燥时间总体服从n( ，2)；在下面两种情况下，求的置信水平为0.95的置信区间．
(1) 由以往的经验知 = 0.6 (小时);
(2) 未知．
解：（1）由于 = 0.6，求的置信区间由公式计算，其中n=9，=0.
05， 1.96，，代入计算得的置信水平为0.95的置信区间为（5.
608，6.392）.
（2）由于未知，求的置信区间由公式计算，其中n=9，=0.05， =2.306，代入计算得的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442）
14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s = 2.
4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．
解：设x~n( ,2),由于未知，2的置信区间为。
其中n=8，=0.01，，s = 2.4，代入计算得的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.
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