西安交通大学实验报告。
课程名称： 概率论与数理统计实验名称： 蒙特卡洛方法估计积分。
学院理学院实验日期 2014 年 12 月 14日。
班级： 应化31 姓名： 张迟学号： 2130904023
一．实验内容。
1.用蒙特卡洛方法估计积分 ，和的值，并将估计值与真值进行比较。
2.用蒙特卡洛方法估计积分和的值，并对误差进行估计。
2．实验要求。
（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；
2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；
3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。
三．实验目的。
（1）能通过 matlab 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等；
2） 熟练使用 matlab 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；
3） 能用 matlab 熟练进行样本的一元回归分析。
四．实验过程。
1.用蒙特卡洛方法估计积分 ，和的值，并将估计值与真值进行比较。 （注：“/表示注释）
1）用蒙特卡洛方法估计积分
源**：s=0;m=0;f=0;r=0;n=100;
h(1:20)=0;
for j=1:20
for i=1:n
a=unifrnd(0,pi/2,n,1生成[0,]的连续均匀分布随机数组。
x=sort(a);
y=pi/2*mean(x.*sin(x));辅助函数
s=s+y;
endb=s./n;
fprintf('b=%.4f',b);
h(j)=b;
s=0;m=m+b;
endp=m./20 //积分估计值。
z=1 //积分真值。
for j=1:20
r=(h(j)-z).^2; f=f+r;
endf=f./19; /均方误差。
fprintf('f=%.6f',f)
运行结果：实验求得积分估计值为0.9983，真实值为1，均方误差为0.000085，因此估计值较为准确。
2）用蒙特卡洛方法估计积分。
源**： s=0;m=0;f=0;r=0;n=100;
h(1:20)=0;
for j=1:20
for i=1:n
a=normrnd(0,1,1,n); 生成（0,1）标准正态分布的随机数组。
x=sort(a);
y=(sqrt(2.*pi).*exp(-x(i).^2./2));辅助函数。
s=s+y;
endb=(s./n)./2;
fprintf('b=%.4f',b);
h(j)=b;
s=0;m=m+b;
endp=m./20 //积分估计值。
z=sqrt(pi)./2 //积分真值。
for j=1:20
r=(h(j)-z).^2;
f=f+r;
endf=f./19; /均方误差。
fprintf('f=%.6f',f)
运行结果：实验求得积分估计值为0.8869，真实值为0.8862，均方误差为0.000057，因此估计值非常准确。
3）用蒙特卡洛方法估计积分。
源**：m=10000;sum=0;n=50,d=0;
x=unifrnd(-1,1,n,m); 生成[-1,1]的连续均匀分布的随机数组。
y=unifrnd(-1,1,n,m); 生成[-1,1]的连续均匀分布的随机数组。
for i=1:n
a=0;for j=1:m
if(x(i,j)^2+y(i,j)^2<=1)
h(i,j)=4*exp(x(i,j)^2+y(i,j)^2); 辅助函数。
a=a+h(i,j);
endend
s(i)=a/m;sum=sum+s(i);
endi=sum/n //积分估计值。
for i=1:n
d=d+(s(i)*4-pi*(exp(1)-1))^2;
endd=d/49 //均方误差。
运行结果：实验求得积分估计值为5.3950，真实值为5.3981，均方误差为0.0014，因此估计值较为准确。
2.用蒙特卡洛方法估计积分和的值，并对误差进行估计。
1）用蒙特卡洛方法估计积分
源**：s=0;m=0;f=0;r=0;n=100;
h(1:20)=0;
for j=1:20
for i=1:n
a=unifrnd(0,1,n,1); 生成[0,1]的连续均匀分布的随机数组。
x=sort(a);
y=exp(x(i).^2辅助函数。
s=s+y;
endb=s./n;
fprintf('b=%.4f',b);
h(j)=b;
s=0;m=m+b;
endp=m./20 //估计值的均值（作为积分的近似值）
for j=1:20
r=(h(j)-p).^2; f=f+r;
endf=f./19; /均方误差。
fprintf('f=%.6f',f)
运行结果：实验求得积分估计值为1.4636，均方误差为0.000060，因此估计值较为准确。
2）用蒙特卡洛方法估计积分
源**：m=100,n=1000,s=0,i=0,sum=0;
x=unifrnd(-1,1,m,n); 生成[-1,1]的连续均匀分布的随机数组。
y=unifrnd(-1,1,m,n); 生成[-1,1]的连续均匀分布的随机数组。
for i=1:m
s=0;for j=1:n
if(x(i,j)^2+y(i,j)^2<=1)
s=s+4/sqrt(1+x(i,j)^4+y(i,j)^4); 辅助函数。
endend
s(i)=s/n;sum=sum+s(i);
endi=sum/m; /估计值的均值（作为积分的近似值）
d=0;d=0;
for i=1:m
d=d+(i-s(i))^2;
endd=d/(m-1) /均方误差。
运行结果：实验求得积分估计值为2.8498，均方误差为0.0018，因此估计值较为准确。
五．实验总结。
用蒙特卡洛方法估计形如积分，需选取一个合适的的分布，且使，此时令，原积分化为。
因此的均值可以作为积分的估计值，计算二重积分时只需将换为即可，思路与的计算相同。
收获：通过这次上机实验，我基本掌握了用蒙特卡洛方法估计积分的理论、方法和用matlab编写实现它的程序，进一步加深了我对期望、概率密度和期望与积分关系等的理解，不足之处是不能很熟练地运用matlab解决一些较复杂的数学和实际问题。
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