2024年北约数学试题

2024年北大等13校联考数学试卷。

文科做1-5题，理科做3-7题）

参考思路：1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：

平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。

2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。当然，也可以先设直线方程y=kx+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。

3、常规题。先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。

4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosc，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosc》=0.5，于是得证。

第4题解答：

最绝的方法：

假设存在四个正实数满足题目，不妨按大小排列并计为a,b,c,d(a>b>c>d>0),则：ab*cd*ac*bd*ad*cb=（abcd）（abcd）（abcd）=2*3*5*6*10*16=28800

因为：27*27*27〈28800〈32*32*32

所以：abcd的值小于32，但是ab=16，cd=2，abcd=32

故不存在四个正实数满足题目。

方法1假设存在四个正实数满足题目，不妨按大小排列并计为a,b,c,d(a>b>c>d>0),则两两乘积分别为：ab,ac,ad,bc,bd,cd,因为：a>b>c>d>0,所以ab>ac>ad,ab>ac>bc,ad>bd>cd,bc>bd>cd,所以：

ab>ac>ad>bc>bd>cd或者ab>ac>bc>ad>bd>cd,所以：ab=16,ac=10,bd=3,cd=2,所以：ab+ac/bd+cd=a/d=16+10/3+2=26/5,所以：

ab-ac/bd-cd=a/d=16-10/3-2=6,因为6不等于26/5，所以不存在4个正实数满足题设。

从以上解析来看，需要假设4个正实数存，注意到乘积的大小，构造等式ab+ac/bd+cd=ab-ac/bd-cd即可以简单解题。

在解题中，数字5与6没有用到，大大简化难度。

方法2因为：ab=16,ac=10,bd=3,cd=2,所以：abcd=abcd,即有ab*cd=ac*bd=bc*ad

而16*2=32,10*3=30,5*6=30，故这样的4个正实数不存在。

方法2巧妙运用abcd=abcd使题目迎刃而解。

方法3因为；2*3=6

所以：cd*bd=bc或则cd*bd=ad

1.当cd*bd=bc,解出d=1,c=2,b=3,a=5,但ab=15与ab=16矛盾，故解不合理。

2.当cd*bd=ad,则有a=bcd,即bc=5,bd=3,cd=2,即ab*ac*ad=aaaa=960,(bc*bd*cd)*(bc*bd*cd)=aaaa=900,矛盾故这样的4个正实数不存在。

方法3从2*3=6切入题目。