一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合， 0，1，，则
a. b.
c. d. 0，1，答案】a
解析】解：集合， 0，1，则．
故选：a．直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．
2. 设，则
a. 0 b. c. 1 d.
答案】c解析】解：，则．
故选：c．利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
a. 新农村建设后，种植收入减少。
b. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
c. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
d. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
答案】a解析】【分析】
设建设前经济收入为a，建设后经济收入为通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力．
解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
a项，种植收入，故建设后，种植收入增加，故a项错误．
b项，建设后，其他收入为，建设前，其他收入为，故，故b项正确．
c项，建设后，养殖收入为，建设前，养殖收入为，故，故c项正确．
d项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为，经济收入为2a，故，故d项正确．
因为是选择不正确的一项，故选a．
4. 已知椭圆c：的一个焦点为，则c的离心率为
a. b. c. d.
答案】c解析】解：椭圆c：的一个焦点为，可得，解得，，．
故选：c．利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
5. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
a. b. c. d.
答案】d解析】解：设圆柱的底面直径为2r，则高为2r，圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：，解得，则该圆柱的表面积为：．
故选：d．利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．
本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．
6. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
a. b. c. d.
答案】d解析】【分析】
利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．
本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
解答】解：函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：．
故选d．7. 在中，ad为bc边上的中线，e为ad的中点，则
a. b. c. d.
答案】a解析】解：在中，ad为bc边上的中线，e为ad的中点，故选：a．
运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
8. 已知函数，则
a. 的最小正周期为，最大值为3
b. 的最小正周期为，最大值为4
c. 的最小正周期为，最大值为3
d. 的最小正周期为，最大值为4
答案】b解析】解：函数，故函数的最小正周期为，函数的最大值为，故选：b．
首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．
9. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点m在正视图上的对应点为a，圆柱表面上的点n在左视图上的对应点为b，则在此圆柱侧面上，从m到n的路径中，最短路径的长度为
a. b. c. 3 d. 2
答案】b解析】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点n在左视图上的对应点为b，则在此圆柱侧面上，从m到n的路径中，最短路径的长度：．
故选：b．判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．
10. 在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
a. 8 b. c. d.
答案】c解析】解：长方体中，，与平面所成的角为，即，可得．
可得．所以该长方体的体积为：．
故选：c．画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．
本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．
11. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
a. b. c. d. 1
答案】b解析】解：角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，，解得，，，
故选：b．推导出，从而，进而由此能求出结果．
本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
12. 设函数，则满足的x的取值范围是
a. b. c. d.
答案】d解析】解：函数，的图象如图：
满足，可得：或，解得．
故选：d．画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．
本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，若，则___
答案】解析】解：函数，若，可得：，可得．
故答案为：．
直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
本题考查函数的解析式的应用，函数的零点与方程根的关系，是基本知识的考查．
14. 若x，y满足约束条件，则的最大值为___
答案】6解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．
解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由得，平移直线，由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为，故答案为：6
15. 直线与圆交于a，b两点，则。
答案】解析】解：圆的圆心，半径为：2，圆心到直线的距离为：，所以．
故答案为：．
求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．
16. 的内角a，b，c的对边分别为a，b，已知，，则的面积为___
答案】解析】解：的内角a，b，c的对边分别为a，b，c．，利用正弦定理可得，由于，所以，所以，则。
由于，则：，当时，解得，所以．当时，解得不合题意，舍去．
故：．故答案为：．
直接利用正弦定理求出a的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积．
本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知数列满足，，设．求，，；判断数列是否为等比数列，并说明理由；求的通项公式．
答案】解：数列满足，则：常数，由于，故：，数列是以为首项，2为公比的等比数列．
整理得：，所以：，，数列是为等比数列，由于常数；由得：，根据，所以：．
解析】直接利用已知条件求出数列的各项．利用定义说明数列为等比数列．利用的结论，直接求出数列的通项公式．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．
18. 如图，在平行四边形abcm中，，，以ac为折痕将折起，使点m到达点d的位置，且．证明：平面平面abc；为线段ad上一点，p为线段bc上一点，且，求三棱锥的体积．
答案】解：证明：在平行四边形abcm中，又且，面adc，又面abc，平面平面abc；，由得，又，面abc，三棱锥的体积．
解析】可得，且，即可得面adc，平面平面abc；首先证明面abc，再根据，可得三棱锥的高，求出三角形abp的面积即可求得三棱锥的体积．
本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19. 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据单位：和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表。
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表。
作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表。
答案】解：根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：
根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率为：．由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：，使用节水龙头50天的日均用水量为：，估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：．
解析】．根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率．由题意得未使用水龙头50天的日均水量为，使用节水龙头50天的日均用水量为，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．
本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20. 设抛物线c：，点，，过点a的直线l与c交于m，n两点．当l与x轴垂直时，求直线bm的方程；证明：．
答案】解：当l与x轴垂直时，，代入抛物线解得，所以或，直线bm的方程：，或：
．证明：设直线l的方程为l：，联立直线l与抛物线方程得，消x得，即，则有，所以直线bn与bm的倾斜角互补，．
解析】当时，代入求得m点坐标，即可求得直线bm的方程；设直线l的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得，即可证明．
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题．
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