2023年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）解析版。
参***与试题解析。
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合，1，2，3，，，3，，，则的子集共有
a．2个 b．4个 c．6个 d．8个。
考点】：交集及其运算。
专题】11：计算题。
分析】利用集合的交集的定义求出集合；利用集合的子集的个数公式求出的子集个数．
解答】解：，1，2，3，，，3，
的子集共有。
故选：．点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含个元素，则其子集的个数是．
2．（5分）复数
a． b． c． d．
考点】：复数的运算。
专题】11：计算题。
分析】将分子、分母同时乘以，再利用多项式的乘法展开，将用代替即可．
解答】解：
故选：．点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是
a． b． c． d．
考点】：函数奇偶性的性质与判断。
专题】11：计算题；51：函数的性质及应用。
分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在上单调递增的函数．
解答】解：对于．，由，为奇函数，故排除；
对于．，由，为偶函数，当时，，是增函数，故正确；
对于．，有，是偶函数，但时为减函数，故排除；
对于．，有，是偶函数，当时，，为减函数，故排除．
故选：．点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．
4．（5分）椭圆的离心率为
a． b． c． d．
考点】：椭圆的性质。
专题】11：计算题。
分析】根据椭圆的方程，可得、的值，结合椭圆的性质，可得的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．
解答】解：根据椭圆的方程，可得，则；
则椭圆的离心率为，故选：．
点评】本题考查椭圆的基本性质：，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．
5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的是6，那么输出的是
a．120 b．720 c．1440 d．5040
考点】：程序框图。
专题】：算法和程序框图。
分析】执行程序框图，写出每次循环，的值，当不成立时输出的值即可．
解答】解：执行程序框图，有，
成立，有。成立，有。
成立，有。成立，有。
成立，有。不成立，输出的值为720．
故选：．点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．
6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
a． b． c． d．
考点】：古典概型及其概率计算公式。
专题】：概率与统计。
分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到，故选：．
点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．
7．（5分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则
a． b． c． d．
考点】：二倍角的三角函数；：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系。
专题】11：计算题。
分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把的平方代入即可求出值．
解答】解：根据题意可知：，所以，则．
故选：．点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为
a． b． c． d．
考点】：简单空间图形的三视图。
专题】13：作图题。
分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：．
点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．
9．（5分）已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直．与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为
a．18 b．24 c．36 d．48
考点】：直线与圆锥曲线的综合。
专题】44：数形结合法。
分析】首先设抛物线的解析式，写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积一半．
解答】解：设抛物线的解析式为，则焦点为，，对称轴为轴，准线为。
直线经过抛物线的焦点，、是与的交点，又轴。
又点在准线上。
故选：．点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．
10．（5分）在下列区间中，函数的零点所在的区间为
a．， b．， c． d．，
考点】52：函数零点的判定定理。
专题】52：导数的概念及应用。
分析】根据导函数判断函数单调递增，运用零点判定定理，判定区间．
解答】解：函数。
当时， 函数在上为。
函数的零点所在的区间为，
故选：．点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．
11．（5分）设函数，则，则
a．在单调递增，其图象关于直线对称
b．在单调递增，其图象关于直线对称
c．在单调递减，其图象关于直线对称
d．在单调递减，其图象关于直线对称。
考点】：正弦函数的单调性；：正弦函数的奇偶性和对称性。
专题】57：三角函数的图象与性质。
分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数，然后求出对称轴方程，判断在单调性，即可得到答案．
解答】解：因为．由于的对称轴为，所以的对称轴方程是：，所以，错误；的单调递减区间为，即，函数在单调递减，所以错误，正确．
故选：．点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．
12．（5分）已知函数的周期为2，当，时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有
a．10个 b．9个 c．8个 d．1个。
考点】：函数的周期性；：对数函数的图象与性质。
专题】16：压轴题；31：数形结合。
分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．
解答】解：作出两个函数的图象如上。
函数的周期为2，在，上为减函数，在，上为增函数。
函数在区间，上有5次周期性变化，在，、，上为增函数，在，、，上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为，再看函数，在区间，上为减函数，在区间，上为增函数，且当时；时，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：．
点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知与为两个垂直的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则 1 ．
考点】：数量积判断两个平面向量的垂直关系。
专题】11：计算题。
分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出值．
解答】解： 垂直。即。
故答案为：1
点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．
14．（5分）若变量，满足约束条件，则的最小值为 ．
考点】：简单线性规划。
专题】11：计算题。
分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数变化为，当直线沿着轴向上移动时，的值随着增大，当直线过点时，取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．
解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数，变化为，当直线沿着轴向上移动时，的值随着增大，当直线过点时，取到最小值，由与的交点得到。
故答案为：．
点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．
15．（5分）中，，，则的面积为 ．
考点】：正弦定理；：余弦定理。
专题】58：解三角形。
分析】先利用余弦定理和已知条件求得，进而利用三角形面积公式求得答案．
解答】解：由余弦定理可知，求得或3（舍负）
的面积为。故答案为：
点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．
16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
考点】：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；：球的体积和表面积。
专题】11：计算题；16：压轴题。
分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．
解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：，圆锥的底面积为：，圆锥的底面半径为：；
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形。
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：，同理可得圆锥体积较大者的高为：；
所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．
故答案为：
点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（12分）已知等比数列中，，公比．
ⅰ）为的前项和，证明：
ⅱ）设，求数列的通项公式．
考点】89：等比数列的前项和。
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