2024年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）解析版。
参***与试题解析。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合，2，，，3，，则
a．，2，3， b．，2， c．，3， d．，3，考点】：并集及其运算。
专题】11：计算题；49：综合法。
分析】集合，2，，，3，，求，可用并集的定义直接求出两集合的并集．
解答】解：，2，，，3，2，3，故选：．
点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，是集合中的基本概念型题．
2．（5分）
a． b． c． d．
考点】：复数的运算。
专题】35：转化思想；：数系的扩充和复数。
分析】利用复数的运算法则即可得出．
解答】解：原式．
故选：．点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）函数的最小正周期为
a． b． c． d．
考点】：三角函数的周期性。
专题】38：对应思想；48：分析法；57：三角函数的图象与性质。
分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．
解答】解：函数的最小正周期为：．
故选：．点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．
4．（5分）设非零向量，满足则
a． b． c． d．
考点】91：向量的概念与向量的模。
专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；：平面向量及应用。
分析】由已知得，从而，由此得到．
解答】解：非零向量，满足，解得，故选：．
点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的模的性质的合理运用．
5．（5分）若，则双曲线的离心率的取值范围是
a．， b．， c． d．
考点】：双曲线的性质。
专题】11：计算题；35：转化思想；：圆锥曲线的定义、性质与方程。
分析】利用双曲线方程，求出，然后求解双曲线的离心率的范围即可．
解答】解：，则双曲线的离心率为：．
故选：．点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
a． b． c． d．
考点】：由三视图求面积、体积。
专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；：立体几何。
分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，故选：．
点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）设，满足约束条件，则的最小值是
a． b． c．1 d．9
考点】：简单线性规划。
专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：不等式。
分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
解答】解：、满足约束条件的可行域如图：
经过可行域的时，目标函数取得最小值，由解得，则的最小值是：．
故选：．点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
8．（5分）函数的单调递增区间是
a． b． c． d．
考点】：复合函数的单调性。
专题】35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用。
分析】由得：，，令，则，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
解答】解：由得：，令，则，时，为减函数；
时，为增函数；
为增函数，故函数的单调递增区间是，故选：．
点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．
9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
a．乙可以知道四人的成绩 b．丁可以知道四人的成绩
c．乙、丁可以知道对方的成绩 d．乙、丁可以知道自己的成绩。
考点】：进行简单的合情推理。
专题】：**型；35：转化思想；48：分析法；：推理和证明。
分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案。
解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩。
乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
乙看到了丙的成绩，知自己的成绩。
丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了。
故选：．点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．
10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的
a．2 b．3 c．4 d．5
考点】：程序框图。
专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图。
分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的，值，当时，程序终止即可得到结论．
解答】解：执行程序框图，有，，，代入循环，第一次满足循环，，，
满足条件，第二次满足循环，，，
满足条件，第三次满足循环，，，
满足条件，第四次满足循环，，，
满足条件，第五次满足循环，，，
满足条件，第六次满足循环，，，
不成立，退出循环输出的值为3．
故选：．点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．
11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
a． b． c． d．
考点】：古典概型及其概率计算公式。
专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：概率与统计。
分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
共有个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
故选：．点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
12．（5分）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点在轴上方），为的准线，点在上，且，则到直线的距离为
a． b． c． d．
考点】：抛物线的性质；：直线与抛物线的综合。
专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程。
分析】利用已知条件求出的坐标，求出的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
解答】解：抛物线的焦点，且斜率为的直线：，过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点在轴上方），可知：，解得，．
可得，，的方程为：，即，则到直线的距离为：．
故选：．点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）函数的最大值为 ．
考点】：三角函数的最值。
专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质。
分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
解答】解：函数，其中，可知函数的最大值为：．
故答案为：．
点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力．
14．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（2） 12 ．
考点】：函数奇偶性的性质与判断；：抽象函数及其应用。
专题】35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用。
分析】由已知中当时，，先求出，进而根据奇函数的性质，可得答案．
解答】解：当时，又函数是定义在上的奇函数，2），故答案为：12
点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．
15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ．
考点】：球的体积和表面积；：球内接多面体。
专题】11：计算题；35：转化思想；：空间位置关系与距离。
分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．
解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为：．
则球的表面积为：．
故答案为：．
点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
16．（5分）的内角，，的对边分别为，，，若，则 ．
考点】：三角函数中的恒等变换应用；：正弦定理。
专题】11：计算题；35：转化思想；：定义法；56：三角函数的求值；58：解三角形。
分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可。
解答】解：，由正弦定理可得，故答案为：
点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题。
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，
1）若，求的通项公式；
2）若，求．
考点】：数列的求和；：等差数列与等比数列的综合。
专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列。
分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得，，即可得到所求通项公式；
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