2024年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ） 解析版。
参***与试题解析。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）
a． b． c． d．
考点】：复数的运算。
专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；：数系的扩充和复数。
分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．
解答】解：．
故选：．点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）已知集合，3，5，，，3，4，，则
a． b． c．， d．，2，3，4，5，考点】：交集及其运算。
专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合。
分析】利用交集定义直接求解．
解答】解：集合，3，5，，，3，4，．
故选：．点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（5分）函数的图象大致为
a． b．
c． d．考点】：函数的图象与图象的变换；：利用导数研究函数的单调性。
专题】33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用。
分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
解答】解：函数，则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除，当时，（1），排除．
当时，，排除，故选：．
点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．
4．（5分）已知向量，满足，，则
a．4 b．3 c．2 d．0
考点】91：向量的概念与向量的模；：平面向量数量积的性质及其运算。
专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；：平面向量及应用。
分析】根据向量的数量积公式计算即可．
解答】解：向量，满足，，则，故选：．
点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题。
5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
a．0.6 b．0.5 c．0.4 d．0.3
考点】：排列、组合及简单计数问题。
专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；：概率与统计。
分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有种，其中全是女生的有种，根据概率公式计算即可，适合文科生），设2名男生为，，3名女生为，，，则任选2人的种数为，，，共10种，其中全是女生为，，共3种，根据概率公式计算即可。
解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有种，其中全是女生的有种，故选中的2人都是女同学的概率，适合文科生），设2名男生为，，3名女生为，则任选2人的种数为，，，共10种，其中全是女生为，，共3种，故选中的2人都是女同学的概率，故选：．
点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．
6．（5分）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
a． b． c． d．
考点】：双曲线的性质。
专题】35：转化思想；：定义法；：圆锥曲线的定义、性质与方程。
分析】根据双曲线离心率的定义求出，的关系，结合双曲线，，的关系进行求解即可．
解答】解：双曲线的离心率为，则，即双曲线的渐近线方程为，故选：．
点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
7．（5分）在中，，，则
a． b． c． d．
考点】：余弦定理。
专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形。
分析】利用二倍角公式求出的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．
解答】解：在中，，，则．
故选：．点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
8．（5分）为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
a． b． c． d．
考点】：循环结构；：绘制程序框**决问题。
专题】38：对应思想；：试验法；：算法和程序框图。
分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的，由此知空白处应填入的条件．
解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是。
累加步长是2，则在空白处应填入．
故选：．点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
9．（5分）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
a． b． c． d．
考点】：异面直线及其所成的角。
专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；：空间角。
分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的正切值．
解答】解以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，0，，，2，，，0，2，2，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的正切值为．
故选：．点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5分）若在，是减函数，则的最大值是
a． b． c． d．
考点】：两角和与差的三角函数；：正弦函数的单调性。
专题】33：函数思想；：转化法；56：三角函数的求值。
分析】利用两角和差的正弦公式化简，由，，得，，取，得的一个减区间为，，结合已知条件即可求出的最大值．
解答】解：，由，得，取，得的一个减区间为，由在，是减函数，得．
则的最大值是．
故选：．点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
11．（5分）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
a． b． c． d．
考点】：椭圆的性质。
专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程。
分析】利用已知条件求出的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可．
解答】解：，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，可得椭圆的焦点坐标，所以，．可得：，可得，可得，解得．
故选：．点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
12．（5分）已知是定义域为的奇函数，满足，若（1），则（1）（2）（3）
a． b．0 c．2 d．50
考点】：函数奇偶性的性质与判断。
专题】36：整体思想；：定义法；51：函数的性质及应用。
分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
解答】解：是奇函数，且，则，则，即函数是周期为4的周期函数，1），2），（3）（1），4），则（1）（2）（3）（4），则（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）
1）（2），故选：．
点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线在点处的切线方程为 ．
考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程。
专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用。
分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答】解：，当时，曲线在点处的切线方程为．
故答案为：．
点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14．（5分）若，满足约束条件，则的最大值为 9 ．
考点】：简单线性规划。
专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：不等式。
分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答】解：由，满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时，取得最大值，由，解得，目标函数有最大值，为．
故答案为：9．
点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）已知，则 ．
考点】：两角和与差的三角函数。
专题】35：转化思想；：转化法；56：三角函数的求值。
分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．
解答】解：，则，故答案为：．
点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键．
16．（5分）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为．若的面积为8，则该圆锥的体积为 ．
考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；：直线与平面所成的角。
专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离；：空间角。
分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然后求解体积即可．
解答】解：圆锥的顶点为，母线，互相垂直，的面积为8，可得：，解得，与圆锥底面所成角为．可得圆锥的底面半径为：，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：．
故答案为：．
点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．
1）求的通项公式；
2）求，并求的最小值．
考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前项和。
专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列。
分析】（1）根据，，可得，，求出等差数列的公差，然后求出即可；
2）由，，，得，由此可求出以及的最小值．
解答】解：（1）等差数列中，，，解得，2），当时，前项的和取得最小值为．
点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项的和公式，属于中档题．
18．（12分）如图是某地区2024年至2024年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
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