2024年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设z=，则|z|=（
a. 2 b. c. d. 1
2. 已知集合u=，a=，b=，则b∩ua=（
a. b. c. d. 6，3. 已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（ ）
a. b. c. d.
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为**分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个**分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
a. 165 cm
b. 175 cm
c. 185 cm
d. 190 cm
5. 函数f（x）=在[-π的图象大致为（ ）
a. b.
c. d.
6. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）
a. 8号学生 b. 200号学生 c. 616号学生 d. 815号学生。
7. tan255°=（
a. b. c. d.
8. 已知非零向量满足||=2||，且（-）则与的夹角为（ ）
a. b. c. d.
9. 如图是求的程序框图，图中空白框中应填入。
a. b.
c. d.
10. 双曲线c： -1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则c的离心率为（ ）
a. b. c. d.
11. △abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知asina-bsinb=4csinc，cosa=-，则=（
a. 6 b. 5 c. 4 d. 3
12. 已知椭圆c的焦点为，过f2的直线与c交于a，b两点。若，，则c的方程为（ ）
a. b. c. d.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线y＝3（x2＋x）ex在点（0，0）处的切线方程为___
14. 记sn为等比数列的前n项和，若a1=1，s3=，则s4=__
15. 函数f（x）=sin（2x+）-3cosx的最小值为___
16. 已知∠acb=90°，p为平面abc外一点，pc=2，点p到∠acb两边ac，bc的距离均为，那么p到平面abc的距离为___
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
2）能否有95%把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．18. 记sn为等差数列的前n项和，已知s9=－a5．
1）若a3=4，求的通项公式；
2）若a1>0，求使得sn≥ann的取值范围．
19. 如图，直四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面是菱形，aa1=4，ab=2，∠bad=60°，e，m，n分别是bc，bb1，a1d的中点．
1）证明：mn∥平面c1de；
2）求点c到平面c1de的距离．
20. 已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）为f（x）的导数．
1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21. 已知点a，b关于坐标原点o对称，|ab|=4，⊙m过点a，b且与直线x+2=0相切．
1）若a在直线x+y=0上，求⊙m的半径；
2）是否存在定点p，使得当a运动时，|ma|-|mp|为定值？并说明理由．
22. 在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为（t为参数）．以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11=0．
1）求c和l的直角坐标方程；
2）求c上的点到l距离的最小值．
23. 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
1）++a2+b2+c2；
2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
答案和解析。
1.【答案】c
解析】解：由z=，得|z|=|
故选：c．直接利用复数商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
2.【答案】c
解析】解：∵u=，a=，b=，
cua=，
则b∩ua=
故选：c．先求出cua，然后再求b∩ua即可求解。
本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题．
3.【答案】b
解析】分析】
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．
由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．
解答】解：a=log20.2＜log21=0，b=20.2＞20=1，0＜0.20.3＜0.20=1，c=0.20.3∈（0，1），a＜c＜b，故选b．
4.【答案】b
解析】分析】
本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
充分运用**分割比例，结合图形，计算可估计身高．
解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于=110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.
618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选b．
5.【答案】d
解析】分析】
本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．
由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除a，然后计算f（π）判断正负即可排除b，c．
解答】解：∵f（x）=，x∈[-f（-x）==f（x），f（x）为[-π上的奇函数，因此排除a；
又f（）=因此排除b，c.
故选d．6.【答案】c
解析】解：：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，系统抽样的分段间隔为=10，46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为，则an=6+10（n-1）=10n-4，当n=62时，a62=616，即在第62组抽到616．
故选：c．根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．
本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．
7.【答案】d
解析】解：tan255°=tan（180°+75°）=tan75°=tan（45°+30°）
故选：d．利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．
本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题．
8.【答案】b
解析】分析】
本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．
由（-）可得，进一步得到，然后求出夹角即可．
解答】解：∵（
故选b．9.【答案】a
解析】分析】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的a的值，观察规律即可得解．
解答】解：模拟程序的运行，可得：
a=，k=1；
满足条件k≤2，执行循环体，a=，k=2；
满足条件k≤2，执行循环体，a=，k=3；
此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出a的值为，观察a的取值规律可知图中空白框中应填入a=．
故选a．10.【答案】d
解析】解：双曲线c：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得，则=，=得，e=．
故选：d．由已知求得，化为弦函数，然后两边平方即可求得c的离心率．
本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
11.【答案】a
解析】解：∵△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，asina-bsinb=4csinc，cosa=-，解得3c2=，=6．
故选：a．利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】b
解析】分析】
本题考查了椭圆的性质，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=，b=，可得椭圆的方程．
解答】解：∵|af2|=2|bf2|，∴ab|=3|bf2|，又|ab|=|bf1|，∴bf1|=3|bf2|，又|bf1|+|bf2|=2a，∴|bf2|=，af2|=a，|bf1|=a，则|af2|=|a，所以a为椭圆短轴端点，在rt△af2o中，cos∠af2o=，在△bf1f2中，由余弦定理可得cos∠bf2f1=，根据cos∠af2o+cos∠bf2f1=0，可得+=0，解得a2=3，∴a=．
b2=a2-c2=3-1=2．
所以椭圆c的方程为：+=1．
故选b．13.【答案】y=3x
解析】分析】
本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．
对y=3（x2+x）ex求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．
解答】解：∵y=3（x2+x）ex，y'=3（2x+1）ex+3（x2+x）ex=3ex（x2+3x+1），当x=0时，y'=3，y=3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k=3，切线方程为：y=3x．
故答案为：y=3x．
14.【答案】
故答案为：利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解。
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题。
2024年全国统一高考数学试卷 文科 新课标 解析版
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