1.2.1 任意角的三角函数（第1课时）
江门市中小学教研室李义仁。
一、教材分析。
本课时是在必修4“任意角和弧度制”和义务教育“锐角三角函数”的基础上学习任意角的三角函数。
三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，是继必修1指数函数、对数函数和幂函数之后另一个基本初等函数，而三角函数又是学习其他数学知识（三角变换、向量、解析几何等）的重要基础，三角函数的图象和性质在研究简谐运动、波等周期性变化现象中以及实际生活中，都有广泛应用。
三角函数概念是研究三角函数图象与性质的基础，为帮助学生奠定三角函数概念的良好基础，本课时以人教a版必修4 p11-p13及例1～例3为基本教学内容。
二、学情分析。
学生基本具备了学习本课时的知识基础和思想方法基础：锐角三角函数、函数概念、任意角和弧度制等是本课时的知识基础，任意角和弧度制知识形成过程中数形结合的思想方法、指数函数知识形成过程中抽象概括的逻辑方法等是本课时的方法基础。因此，只要有序地呈现学习材料组织学习活动，学生就能较好调动知识与方法储备，参与任意角的三角函数的“再发现”过程，建构对任意角的三角函数的理解。
三、教学分析。
教学目标。1．知识与技能：理解任意角的三角函数的概念，理解三角函数在各象限的符号，会求角α的各三角函数值，了解三角函数的定义域。
2．过程与方法：在概念形成与**三角函数值符号的过程中，进一步体会抽象概括的逻辑方法和数形结合思想，提高逻辑推理能力。
3．情感态度与价值观：在新旧概念比较中，体会数学知识的发展；在**定义域与解决问题的过程中，培养理性精神和科学态度。
重点与难点。
重点：理解任意角三角函数的定义。
难点：用单位圆上点的坐标刻画三角函数。
教法与学法。
1．教法：引导发现法。以apos理论为指导，以问题为主线，让学生在问题解决过程中亲历任意角的三角函数的形成过程，理解任意角的三角函数。
2．学法指导：指导学生适时转化——新旧转化、数形转化等，让学生充分体验不同象限角对应的三角函数值，指导学生抽象概括将感性认识提升为理性认识。
教具与学具。
1．教具：直尺、圆规、powerpoint课件。
2．学具：直尺、圆规。
四、教学过程。
概念引入：初中学习了锐角三角函数，如图1，锐角的正弦、余弦、正切分别是什么？
引导学生回顾锐角三角函数的概念、符号、表达式。
在中，，，概念形成：如何在直角坐标系中用点的坐标表示角的正弦、余弦与正切？
1．用角终边上点的坐标表示、与。
1.1．将（角）放入适当的直角坐标系中。
如图2，以的顶点为原点，边所在的直线为。
轴（点在轴正半轴上）建立平面直角坐标系。
1.2．用点的坐标表示、与。
在图2中，若点，则，，，从而，，。
2．用单位圆上的点的坐标表示、与。
2.1．单位圆的概念，如图3，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。
2.2．由相似三角形的知识，对于确定的角，，，的值不会随点在角的终边上的位置的改变而改变。
如图4，将点取为角的终边（即射线）
与单位圆的交点，此时，。
概念明晰：任意角的三角函数的定义。
这是教学的重点：从函数角度看待，，，明确定义任意角的三角函数，揭示任意角的三角函数的本质。
1．在弧度制下，锐角三角函数的自变量、对应关系分别是什么？
在弧度制下，锐角的弧度数等于单位圆中圆心角所对的弧长，为角的终边与单位圆的交点，因此，在弧度制下，锐角唯一地确定单位圆上的点，点唯一地确定实数与，从而唯一地确定，，。所以，锐角三角函数是以实数（角的弧度数）为自变量，以角终边与单位圆交点的坐标或坐标比值为函数值的函数。
2．将锐角三角函数推广到任意角的三角函数。
如图5，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则。
叫做的正弦（sine），记作，即。
叫做的余弦（cosine），记作，即。
叫做的正切（tangent），记作，即。
）。，分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看作自变量为实数的函数。
对应关系直观表示如下（讲解正弦函数的对应关系，其他由学生完成）：
3．三角函数的定义域。
当（）时，角的终边在轴上，点的横坐标，无意义，除此之外，对于确定的角，、和的值都是唯一确定的，所以，正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集、正切函数的定义域为。
概念巩固：例题。
3个例题，分别是直接应用代数式（定义）求三角函数值，解直角三角形求三角函数值，定义及其形成过程中思想方法结合运用求三角函数值。例1由学生口答。
例1．如图6，已知角α的终边与单位圆的交点是， 求角α的正弦、余弦和正切值。
解：根据三角函数定义得：，，
例2．求的正弦、余弦和正切值。
解：如图7，在直角坐标系中，作，易知，的终边与单位圆的交点坐标为。所以，，。
例3．已知角α的终边经过点，求角α的正弦、余弦和正切值。
解：由已知得。
如图8，设角α的终边与单位圆交于点，分别过。
作轴的垂线段、，则，。
由得：，。注：一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，则，，（
概念内化：将新概念（任意角的各个三角函数）系统化，并与角、坐标系相联系。
例4．**证明：⑴**三角函数值在各象限的符号；
求证：当不等式组成立时，角为第三象限角。反之也对。
问题⑴以填图的方式完成，并说理讨论：角α在第二象限→角α终边上的点在第二象限→，→依此类推。
问题⑵以练习讲评方式完成，关注学生问题解决的完备性与严谨性。
若为第三象限角，由⑴可得，。
若成立，则角的终边可能位于第三或第四象限或与轴的非正半轴重合；若成立，则角的终边可能位于第一或第三象限。因为与同时成立，所以角的终边只能位于第三象限，角为第三象限角。
五、课外练习。
必做：p15练习1，2，3；
选做：p20习题1.2 a组第2题。
六、板书设计。
1 2 1任意角的三角函数第一课时 教案
1 叫做的正弦，记做，即 2 叫做的余弦，记做，即 3 叫做的正切，记做，即。注意 1 任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关。2 所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以角终边上任意一点的坐标及其到原点的距离的相应比值为函数值的函数，我们将他们统称为三角函数。3 使比值有意义的...
任意角的三角函数 第一课时
开门见山，面对全体学生提问 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？探索任意角的三角函数 板书课题 请同学们回想，再明确一下 情景1 什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情...
《任意角的三角函数》第一课时
教材 人教a版。内容 必修四。主题 1.2.1 任意角的三角函数。课时 第一课时。授课对象 中牟二高1605 设计者 王安伟。目标确定依据 课标要求 借助单位圆理解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 定义，教材分析 1 借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义。2 理解三角函数是以实数为自变量的函数...