1.2.1 任意角的三角函数。
整体分析。教材分析。
本节内容是数学4 第一章三角函数的重要内容，是在初中学过的，用直角三角形的比来刻画锐角三角函数的基础上，利用任意角的基础，对三角函数进行重新定义。此外，本节还是三角函数的起始课，对后续内容的学习起着奠基作用，本节课的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等；难点是用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数，三角函数符号，利用与单位圆有关的有向线段，将对任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示。通过对单位圆以及角的终边的**，培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识的应用数学结合思想、转化和化归思想，体会解决数学问题的一般方法与思路。
课时分配 本节内容用2课时的时间完成，本教案为第1课时，主要讲解任意角三角函数的定义及运用定**决简单的数学问题。
任意角的三角函数第一课时。
教学目标。重点： 任意角的正弦、余弦、正切的定义。
难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数．
知识点：任意角的三角函数定义。
能力点：利用角的终边和单位圆探寻任意角的三角函数的定义，数形结合的数学思想的运用。
教育点：经历由锐角的三角函数到任意角的三角函数，由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会**的乐趣，激发学生的学习热情。
自主**点：如何运用三角函数的定义求解任意角的三角函数。
考试点：用定义法求证任意角的三角函数、解决简单的数学问题。
易错易混点：在求解交点坐标时， 学生一般在“符号”上容易出错，在横、纵坐标与余、正弦的对应关系上，学生容易混淆。
拓展点：如何利用角的终边上的点来求解任意角的三角函数值。
教具准备多**课件和三角板。
课堂模式学案导学。
一、复习回顾、引入新课。
我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？
学生口述后在投影展示，教师根据投影进行强调：，。
我们现在已经把锐角推广到了任意角，那么锐角的三角函数，能不能推广到任意角呢？同学们试试看，可以独立思考和探索，也可以小组互相讨论！
留时间让学生独立思考或者自由讨论，教师巡回对学生作启发引导。
针对刚才的问题点名让学生回答（学生一般会想到用直角坐标系来研究）。
设计意图】 学生已经在初中学习过锐角的三角函数，现在学习任意角的三角函数是一种推广和拓展的过程。温故知新，让学生从现有的知识上，建构新知识，符合新课程的要求。
师生活动】（学生口述，教师板书图形和比值）
把锐角安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合）在直角坐标系中，在角终边上任取一点，他与原点的距离，作轴于，构造一个，则（锐角），的邻边，对边。
根据锐角三角函数定义，我们有：，。
设计意图】 此处做法简单，思想重要。是理解任意角三角函数定义的关键，使学生能够很好的体会数学发现的重要思想和方法。
2、**新知。
一）归纳定义。
思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置在改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在是线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数。，。
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上的一点的坐标表示。那么，角的概念推广之后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行推广到任意角呢？
**：结合上述锐角的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？
我们可以在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离等于1，然后就可以类比锐角三角函数求出该角的三角函数。
怎么样快速的找到与原点的距离等于1的点呢？我们在此引入单位圆的定义。
单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。
**：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？
如右图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
1）叫做的正弦（sine），记作，即；
2）叫做的余弦（cosine），记作，即；
3）叫做的正切（tangent），记作，即。
设计意图] 利用学生对锐角三角函数的理解，从思维和形式上进行拓展，从认知结构上吧三角函数推广到任意角．使学生能够有效的增强对于函数的理解。
二）**定义域。
函数的概念的三要素是什么？
函数三要素：对应法则、定义域、值域。
那么什么是三角函数的定义域？填写课本13页，表1.2-1
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
设计意图] 定义域是函数三要素之一，研究函数必须指出其定义域。指导学生根据定义自主**出三角函数的定义域，有利于学生在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数定义的掌握。
3、例题讲解，理解新知。
例1：求的正弦、余弦和正切值。
给学生一定的时间自学，让学生自己思考，并试着总结解题步骤。然后老师讲评。
步骤：（1）画图，先画出直角坐标系和单位圆，再画出角的终边；
2）求角的终边与单位圆的交点坐标。
过交点向轴作垂线，构造直角三角形；
利用勾股定理求出直角边的长度；
根据点的位置，确定坐标的正负。
3）写结论。利用定义，求解各三角函数的值。
练习：求的三个三角函数值。
设计意图]及时讲解例题，归纳总结步骤，然后进行同类型题目的练习，巩固和加深对三角函数定义的理解。
例2：已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值。
留给学生一定的时间，仔细研究课本上的解法，让其思考并理解课本所用到的方法，并尝试着自己完成一次例2的解答。然后再思考例2的方框中所给的三个式子的用途，最后给予讲解。
教师要点拨学生画图，充分利用数形结合，但要提醒学生角的任意性。
推广定义：设角的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，那么：
1）叫做的正弦，记作，即；
2）叫做的余弦，记作，即；
3）叫做的正切，记作，即。
这样定义三角函数，突出了点的任意性，说明任意角的三角函数值只与有关，而与点在终边上的位置无关，教师要让学生充分理解这一点。
接着，让学利用上面的定义，再次完成例2，并总结步骤。
先利用坐标求出的值；
再利用上面的公式直接写出结果。
练习：已知角的终边过点，求角的三角函数值。
设计意图]利用给出的拓展定义，快速的解题，让学生体会到，收获的快乐，加深理解和记忆。
四、运用新知、能力提升。
例3：已知角终边上的一点()，求角的正弦、余弦和正切值。
解：，当时，；
当时，。设计意图] 利用这个例题，告诉学生在含有参数的时候，要对参数的各种情况进行分类讨论。
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：
1．知识：任意角的三角函数的定义，及其推广定义。
2．思想：数形结合的思想、分类讨论的思想、特殊与一般的思想．
教师总结： 对于定义，我们要加强理解，对于例题的解题步骤，我们要在课后及时的总结和识记，还要加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
设计意图] 依据艾宾浩斯遗忘理论，回顾总结知识是必须的，在课堂内及时的总结主要内容，有利于学生，巩固知识，建构知识网络，优化知识结构，培养良好的学习习惯．
六、布置作业
1．阅读教材p12—13；
2.书面作业
必做题：p20 习题1.2 a组 1.（2）、（4）,2
选做题：1. 已知角的终边过点，且，求。
设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯。书面作业的布置，必做题是为了让学生能够运用课堂上的知识，以及解题步骤，解决简单的数学问题；选做题是为学有余力的同学，得到更高层次的发展。
七、教后反思
1.本教案的亮点是定义的引入，和例题的讲解。在例题的教学中，让学生先自学、再总结步骤，有一种豁然开朗的感觉，有了具体的步骤，再按此步骤解决练习题，效率大增。
在例3的教学中，加入了参数，既注重了与例2的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．
2.本节课的课堂容量适中，主要是考虑学生们首次接受扩展后的三角函数，希望能够让他们得到充分的思考和消化，练习时间，在课堂上给予他们充分的时间来思考和自学，充分利用学生的主观能动性，然后给予针对性地诊断与分析，让学生能力得到提升。
八、板书设计。
任意角的三角函数 第一课时
开门见山，面对全体学生提问 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？探索任意角的三角函数 板书课题 请同学们回想，再明确一下 情景1 什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情...
《任意角的三角函数》第一课时
教材 人教a版。内容 必修四。主题 1.2.1 任意角的三角函数。课时 第一课时。授课对象 中牟二高1605 设计者 王安伟。目标确定依据 课标要求 借助单位圆理解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 定义，教材分析 1 借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义。2 理解三角函数是以实数为自变量的函数...
任意角的三角函数第一课时
一 教学内容分析 高一年 普通高中课程标准教科书 数学 必修4 人教版a版 第12页1.2.1任意角的三角函数第一课时。本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主 任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在 课程标准 中 三角函数是基...