开门见山，面对全体学生提问：
在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？
探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：
情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？
让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：
传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域。
现代定义：设a、b是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数，在集合b中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射：a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作：
y= f（x），x∈a ，其中x叫自变量，自变量x的取值范围a叫做函数的定义域。
设计意图：函数和三角函数是一般和特殊的关系，是共性和个性的关系，学生已经学习了函数的概念，因此对三角函数的学习就是一个从一般到特殊的演绎的过程，也是以具体函数丰富函数概念的过程。 教学经验表明：
学生对函数两种定义的记忆是有一定困难的，容易遗忘，此处让学生对函数概念进行回想再认，目的在于明确函数概念的本质，为演绎学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备。
情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数。 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？
学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：
设计意图：学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）. 温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。
二） 引伸铺垫、创设情景。
情景3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！
留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。
能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答。
用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于4.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否说课稿**则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。
设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。
教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！
师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：
把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点p，作pm⊥x轴于m，构造一个rtδomp，则∠ mop=α（锐角），设p（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边om =x、对边mp=y，斜边长|op∣=r.
根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：
设计意图：此处做法简单，思想重要。 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形。
由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数。 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义。 这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识，能够形成迁移能力，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础（譬如从平面向量到空间向量的扩展，从实数到复数的扩展等）.
情景4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？
追问：锐角α大小发生变化时，比值会改变吗？
先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持r不变，让p绕原点o旋转即α在锐角范围内变化，六个比值随之变化的直观形象。结论是：
比值随α的变化而变化。
引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现：
对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是。
确定的，不会随p在终边上的移动而变化。
得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随p在终边上的移动而变化。 所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数。
设计意图：初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键。 这样做能够使学生有效地增强函数观念。
三）分析归纳、自主定义。
情境5）能将锐角的比值情形推广到任意角α吗？
水到渠成，师生共同进行探索和推广：
对于一个任意角α，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：
终边分别在四个象限的情形终边分别在四个半轴上的情形：
指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）
怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：
板书）设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点p（x，y），p与原点o之间的距离记作r（r=＞0），列出六个比值：
=kπ+π2时，x=0，比值 y/x、r/x 无意义；
= kπ时，y=0，比值x /y、r /y无意义。
追问：α大小发生变化时，比值会改变吗？
先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r保持不变，p绕原点o逆时针、顺时针旋转即角α变化，六个比值随之改变的直观形象。结论是：
各比值随α的变化而变化。
再引导学生利用相似三角形知识，探索发现： 对于任意角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随p在终边上的移动而变化。
综上得到（强调）：当角α变化时，六个比值随之变化；对于确定的角α， 六个比值（如果存在的话）都不会随p在角α终边上的改变而改变，六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析).
因此，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数。
根据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：
sinα（正弦cosα（余弦tanα（正切）
cscα（余割sec（正弦cotα（余切）
教师强调：sinα表示sin与α的乘积吗？不是，sinα是函数记号，是一个整体，相当于函数记号f（x）. 其它几个三角函数也如此。
投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵：
图六） 指导学生识记六个比值及函数名称。
教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）.
引导学生进一步分析理解：
已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一的一个角，从而分别对应着六个唯一的三角函数值。 因此，（板书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便。
设计意图：把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来，有利于对任意性的全面把握。 明确比值存在与否的条件，为确定函数定义域作准备。
动画演示比值与角之间的依赖性与确定性关系，深化理解三角函数内涵。 引导学生在理解的基础上自主地对三角函数作出明确定义，是本节课的中心任务。 由于学生刚学弧度制，对弧度制的理解有待于在以后的学习应用中逐步感悟，因此部分学生对“三角函数可以看成是以实数为自变量的函数”的理解有半信半疑之感，有待通过后续的应用加深理解。
四） 探索定义域。
情景6）（1）函数概念的三要素是什么？
函数三要素：对应法则、定义域、值域。
正弦函数sinα的对应法则是什么？
正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即α→ y/r= sinα.
2)布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出六个三角函数的定义域，填写下表：
引导学生自主探索：
如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围。
关于sinα=y/r、cosα=x/r，对于任意角α（弧度数），r＞0，y/r、x/r恒有意义，定义域都是实数集r.
对于tanα=y/x，α=kπ+π2 时x=0，y/x无意义，tanα的定义域是：{αr，且α≠kπ+π2
教师指出： sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆。
关于值域，到后面再学习）.
设计意图：定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域。 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。
五）符号判断、形象识记。
情景7）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！
引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：
同好得正、异号得负）
sinα= y/r：上正下负横为0 cosα=x/r：左负右正纵为0 tanα=y/x：交叉正负。
设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求。 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键。
《任意角的三角函数》第一课时
教材 人教a版。内容 必修四。主题 1.2.1 任意角的三角函数。课时 第一课时。授课对象 中牟二高1605 设计者 王安伟。目标确定依据 课标要求 借助单位圆理解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 定义，教材分析 1 借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义。2 理解三角函数是以实数为自变量的函数...
任意角的三角函数第一课时
一 教学内容分析 高一年 普通高中课程标准教科书 数学 必修4 人教版a版 第12页1.2.1任意角的三角函数第一课时。本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主 任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在 课程标准 中 三角函数是基...
任意角的三角函数 第一课时
学习目标 1 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义。2 理解任意角的三角函数不同的定义方法。学习重点 任意角的正弦 余弦 正切的定义。学习难点 用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数。学习过程 复习回顾 我们已经学习过锐角的三角函数，如图 当角 不是锐角时，sin cos tan 的值又如何去求呢？知识...