1、求不定方程的整数解。
解： 令，则。
令，则。从而不可能同时为整数。
原不定方程没有整数解。
2、甲种书每本5元，乙种书每本3元，丙种书1元三本，现用100元买这三种书共100本，问甲、乙、丙三种书各买多少本？
解：设甲、乙、丙三种书分别买本，依题意得方程组。
消去得， 显然是方程的特解。
因此方程的所有整数解是。
令，所以，即可以取整数值。
相应地求得的值分别是。
3、求的一切整数解。
解：因为，而，所以原方程有整数解。
对不定方程，即，把看做常数，得其通解为。
对不定方程，解得通解为。
在上述二个式子中消去得，原方程的全部整数解为。
4、求不定方程的所有正整数解。
解：依次解不定方程。
得和。在上述二个式子中消去得， 令，则。
同理，由得，把代入得，原不定方程的唯一的正整数解是。
5、求不定方程的所有整数解。
解：由于的系数绝对值最小， 把原方程变形为。
令，则。令，则。
逆推上去，依次解得和。
令，则原方程的所有整数解为。
6、 解同余方程。
解：因为，所以原同余方程只有一个解。
下面利用同余变形法。
或者。是原同余方程的解。
7、解同余方程组。
解：把第一个方程乘以2，减去第二个方程乘以3得到，即，即，即。
代入得，即，即，即。
同余方程组的解是。
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