一、 选择题。
1、如果a|b，b|c，则（c ）。
a：a=c b：a=-c c：a|c d：c|a
与200的最大公约数是（d ）。
a：10 b：20 c：30 d：40
3、如果 a|b，b|a ，则（c ）。
a：a=b b：a=-b c：a=b或a=-b d：a，b的关系无法确定。
4、-4除-39的余数是（c ）。
a：3 b：2 c：1 d：0
5、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（a ）mn。
a：整除 b：不整除 c：等于 d：小于。
6、整数6的正约数的个数是（d ）。
a：1 b：2 c：3 d：4
7、如果5|n ，7|n，则35（d ）n 。
a：不整除 b：等于 c：不一定 d：整除。
与158的最大公约数是（ a）。
a：2 b：4 c：6 d：8
9、-337被4除余数是（d ）。
a：0 b：1 c：2 d：3
10、两个整数的公因数是它们的最大公因数的（ a）。
a：因数 b：倍数 c：和 d：差。
11、小于40的素数的个数（ d）。
a：10 b：9 c：8 d：12
12、定方程525x+231y=210（a ）。
a：有解 b：无解 c：有正整数解 d：有负整数解。
13、因为(d )，所以不定方程12x+15y=7没有解。
a：7不整除（12，15） b：7不整除[12，15] c：[12，15]不整除7 d：（12，15）不整除7
二、 填空题。
1）模7的最小非负完全剩余系是 0，1，2，3，4，5，6 ．
3）890的标准分解式是 2×5×89 ．
4）16除-81的商是 －6 ，余数是 15 ．
6）不定方程ax + by = c(其中a，b，c是整数)有整数解的充要条件是 ．
7）710被11除的余数是 1 ．
8）340的十进位表示中的个位数字是 1 ．
1）98!的末尾有___22___个零。
2）3201的十进位表示中的个位数字是___3
3）20！的标准分解式是_20！=218 38 54 72 92 11 13 17 19__。
4）同余式有解的充分必要条件是_ (a，m)|b
三、解答题。
1．求2545与360的最大公约数．
解2545=7×360+25
所以（2545，360）=5．
2．求487与468的最小公倍数．
解487=1×468+19
所以（487，468）=1，即．
3．求1001！中末尾0的个数．
解：因为1001！中末尾0的个数即为。
1001！的标准分解式中质因数5的指数：
所以1001！中末尾0的个数为249个。
4、求不定方程3x + 5y = 20的一切非负整数解．
解：先解。故的一解是。
3x + 5y = 1的一解是。
故3x + 5y = 20的一切解可以表成。
又因为≥０，因此≤≤．
故．因此不定方程3x + 5y = 20的一切非负整数解为：
5、求不定方程3x + y = 7的一切整数解．
解：因为不定方程3x + y = 7有一整数解x=2，y =1．且（3，1）=1，所以不定方程3x + y = 7的一切整数解为：
x=2－t，y =１t，其中t=0，±1，±2，…．
6．计算欧拉函数值：（100）．
解：因为，
所以．7．解同余式。
解把x……10带入同余式中，x 1（mod11）
x≡8 （mod11）
8．解同余式组：
解因2，3，5两两互质，故可由孙子定理给出解答，＝235＝30，m=35＝15 , m=25＝10, m=23＝6
由m m1(mod2),即 15m1(mod2)得m=1
由m m1(mod3),即10m1(mod3)得m=1
由m m1(mod5),即 6m1(mod5)得m=1
故由孙子定理，所给同余式的解为：≡1115+1110+116（mod30）即。
x≡1（mod30）
9．求1050与858的最大公因数。
解：因为1050=23527，858=231113，所以（1050，858）=6。
10．求不定方程15x + 10y + 6z = 61的一切整数解。
解：因为（15，10）=5，（5，6）=1，所以不定方程15x+10y+6z=61有整数解。做不定方程组，不定方程15x+10y=5t的通解为，其中u取一切整数，不定方程5t+6z=61的通解为，其中v取一切整数。
消去t就得到原不定方程的一切整数解为，其中u，v取一切整数。
四、证明题。
1．设n是正整数，证明6| n(n + 1)(2n + 1) ．
证：因为n(n + 1)(2n + 1)
n(n+1)[(n－1)+(n+2)]
(n－1)n(n+1)+n(n+1)(n+2) ．
由于n是正整数，因此(n－1)n(n+1)是三个连续整数的积，所以2│(n－1)n(n+1)，且3│(n－1)n(n+1)，故6│(n－1)n(n+1) ．
同理，6│n(n+1)(n+2) ．
故6│n(n + 1)(2n + 1) ．
2．证明：设m, n为整数，求证m+n, m-n与mn中一定有一个是3的倍数．
证：因为m, n为整数，分以下3种情况讨论：
（1）．若m, n中至少有一个是3的倍数，则；
（2）．若m, n都不是3的倍数，而，则；
（3）．若m, n都不是3的倍数，且m, n对模3不同余，则．
因此m+n, m-n与mn中一定有一个是3的倍数。
3、证明：若，，则．
证：，就是说存在两个整数，使得。
成立，因此，但是一个整数，故．
4．证明：若n为自然数，求证9n+18n+9(mod 64) ．
证：因为当n=1时，9n+1－8n－9＝81－8－9=64，所以当n=1时，64︱(9n+1－8n－9) ．
设当n=k(k≥1)时，64︱(9k+1－8k－9) ，则当n=k+1时，9n+1－8n－9=9k+2－8k－17
9（9k+1－8k－9）+64（ k +1），所以当n=k+1时，64︱(9n+1－8n－9) ．
故若n为自然数，9n+18n+9(mod 64) ．
5．若p为奇质数，证明2p | 22p-1–2)。
证明：因为p为质数，所以(p)=p-1，又p为奇质数，所以(2，p)=1，于是由欧拉定理得。
2p-11(mod p)，两边平方得22p-21(mod p)，再由同余的性质有222p-22(mod 2p)，即：
22p-12(mod 2p)。所以2p|(22p-1-2)。
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