《数学建模》课程作业题。
第三章初等模型。
1 某企业单件产品的变动费用为50元，售价为100元/件，固定费用为90万元/年。
1) 求盈亏平衡点。
2) 若企业现有生产能力为2.4万件/年，问每年的盈利为多少？
3) 为扩大生产，拟引进一条自动线，每年需增加固定费用20万元，但可节约变动费用10元/件，为扩大销售量，拟降价10%，问此方案在年产量为多少件时可行？
一、问题分析。
企业的盈亏取决于企业产品的销售收入和产品的成本费用，当销售总收入大于总成本费用时，企业就盈利；否则企业就亏损。
针对问题一：已知单件产品的变动费用为50元，售价为100元/件为，固定费用为90万元/年。盈亏平衡即就是销售总收入等于总成本费用。
针对问题二：企业现有生产能力为2.4万件/年，计算每年的盈利，根据题目所给的数字及问题一的分析，可以计算年利润，此时获取真实的利润。
针对问题三：引进一条自动线，每年增加固定费用20万元，节约变动费用10元/件，并且降价10%，分析此方案的可行性，所以必须要计算年产量为多少件时可以达到收支平衡，可以将其划定为规划问题求解。
二、模型建立及求解。
3.1问题一。
利润w=总销售收入-总成本。为使盈亏平衡点，仅需销售额等于总成本，此时有：
其中：c是变动费用，w是总利润，v是售价，p是固定费用，x是产品销售量。
令w=0,则得到。
即。经计算，销售量x为18000件。
3.2问题二。
利润=销售额-总成本。企业现有生产能力为2.4万件/年，每年的盈利为：
经计算，每年的利润w为300000元。
3.3问题三。
对问题一的模型：利润=销售额-总成本进行扩展，加入条件每年增加固定费用20万元，节约变动费用10元/件，销售降价10%。为使盈亏平衡点，仅需销售额等于总成本，此时有：
经计算，每年的销售量x至少为22000件。
2某厂拟增添设备扩大生产，现有a、b两类设备可选，投产后的生产费用估算如下：
试确定两类设备适应的生产规模（提示：即确定当年产量为多大规模时，应选用何种设备）.
一、问题分析。
题目要求确定设备的选择方案，方案的选择以成本最小为目标，所以判断的标准是设备a和b哪一种所需费用最小，而费用的计算涉及到固定费用和单件产品变动费用，成本费用的总和还与产品的销售数量有关。
由题目可知方案有两种，一是选择设备a，二是选择设备b，选择两种方案中的一个即选择两种方案成本更少的一个。这必然涉及销售数量问题。可以建立每种方案销售数量与成本的关系模型来进行比较，即可判定方案的选择。
二、模型建立及求解。
设备a成本。
设备b成本。
其中：是使用设备a成本，是使用设备b成本，x是销售量。
令w1=w2，可求得销售量x为3428.6件，取整3428。计算x取1时两种方案的成本，此时设备a的成本小于设备b。
综上所述，我们可以有如下选择：
当销售量x小于等于3428件时，选择设备a，当销售量x大于等于3429件时，选择设备b。
3 某地拟建一工厂，有三种方案可供选择，各方案的生产费用如下：
试确定不同生产规模时应选用的建厂方案。
一、问题分析。
题目要求确定设备的选择方案，方案的选择以成本最小为目标，所以判断的标准是方案a b和c哪一种所需费用最小，而费用的计算涉及到固定费用和单件产品变动费用，成本费用的总和还与产品的销售数量有关。
由题目可知方案有三种，一是选择方案a，二是选择方案b，三是选择方案c。选择三种方案中成本更少的一个。这必然涉及销售数量问题。
可以建立每种方案销售数量与成本的关系模型来进行比较，即可判定方案的选择。
二、模型建立及求解。
先画出三个方案的销售-成本图，如下：
从图中可以看出，销售量较少时方a成本最少，销售量增加后方案b成本最少，销售量较多时方案c成本最少，所以根据上一个问题所建立的模型，求解三条直线的交点。
40x+500000 =26x+1200000 =14x+2640000
其中：是使用设备a成本，是使用设备b成本，是使用设备b成本，x是销售量。
即40x+500000=26x+1200000得x=50000
即40x+500000=14x+2640000得x=82307.7
即26x+1200000=14x+2640000得x=120000
所以当产量x<=50000时， <选用成本比较少的a设备。
所以当产量50000 >,选用成本比较少的a设备。
所以当产量x>=120000时， >选用成本比较少的c设备。
4.在**沙皇的宫廷宝藏中，有许多复活节蛋，它们大都以金制作，装饰或内藏着各种钻石。其中有一只较大的金“蛋”,“蛋”壳的外层表面是一个椭球面，其半长轴，半短轴和半立轴分别为8cm,5.
2cm和5cm.蛋壳的厚度为0.24cm,重量1680g.
试问：这只复活节蛋的壳是否用纯金制作的？ (金的密度是19.
2g/cm3 )
一、问题分析。
题目要求确定复活节彩蛋是否为纯金制作，现给出了彩蛋的重量和其半长轴，半短轴和半立轴的长度，若彩蛋的密度与金的密度相同，则可以判定为纯金制作，若不相等，则不是纯金制作。所以此题转化为求解彩蛋的密度，密度的公式为：
其中，m为质量，v为体积。质量已知，体积未知，所以下一步求解彩蛋的体积。
二、模型建立及求解。
彩蛋为有厚度的椭圆体，所以求此体积可以用外壳体积减去空腔部分，已知蛋壳的厚度为0.24cm，所以内壳的半长轴，半短轴和半立轴分别为：
其中：a为半长轴，b为半短轴，c为半立轴，h为蛋壳的厚度。
所以体积公式有： =103.838
利用公式=1860/103.838，（利用matlab求解，见附录）得出彩蛋的密度为 16.1790g/cm3，已知金的密度为19.
2g/cm3，两者密度不相等，可以判定不是纯金。
附录。zs_8_4
a = 8;
b = 5.2;
c = 5;
a1 = a-0.24;
b1 = b-0.24;
c1 = c-0.24;
m = 1680;
v = 4/3*pi*(a*b*c-a1*b1*c1)
p = m/v
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