信电学院２００级１９班。
队员：黄坡于斌山韩宗涛。
摘要。在足球比赛中，进攻球员在对方球门前不同位置起脚射门时对球门的威胁是不一样的，在球门的正前方威胁要大于在球门两侧射门；近距离射门的威胁要大于远距离的射门。
问题的提出。
要用数学的方法来解决进攻球员在不同的位置，不同角度，不同距离的情况下起脚射门时对球门的威胁度的大小，即球门危险度的问题，我们可以根据球场的实际情况来求出从球场上的任意一点射门时进球的概率，我们通过求出每一点的概率来定义球门危险度，从而得出球场上任意一点的危险程度。
模型的假设。
对于该问题可从正反两个方面进行假设模型。
一是从正面假设模型，把球场看成一个标准的三维坐标系，将在建好的空间直角坐标系各点射门时的速度看成一个向量，并求出它在空间直角坐标系上各坐标轴的方向余弦，然后结合速度的大小将其分参建立方程，最后得到以三个方向余弦和速度大小为变量的函数，来表示从球场上各点打门进球的概率，从而求出射门对球门的危险度。
二是从反面考虑来建立数学模型(主要利用电子束的发射原理).
既然从球场上各点射门时足球有打进球门的可能性，不妨选择能打进球门的球，利用倒退原理将从各个方向已经射入球门的球按照原来的轨迹返回，找到足球的落点。以下情况均按照从球门所在的平面向各个方向发射足球(只考虑半球面的方向),这样我们就可以很轻松的将球发射时的速度与其落点联系起来。
即我们可以假设一次以定的速度发射足够多的足球发射到球场上面，则在速度的变化过程中每一次改变速度时就会使足球的落点有一次不同的分布，.也就是说从此点射门的危险度就越高。
主要变量的参数的定义：
对于模型(一)需要定义的变量有：
速度向量v 而其又可以分解成其他四个变量来简化运算，分别是：速度大小v,x轴的方向余弦为cosà,y轴的方向余弦为cos,z轴的方向余弦为cos;记足球运动的时间为t.
对于模型(二)需要定义的变量主要有：
足球的初速度最大为vm,最小初速度为0设从球门内向外发射足球时的水平速度vw与球门中心线的夹角a; 用lm1表示以任意速度的所能达到的最大距离，最小距离为0;
其中，vm的水平。
模型建立。为了解决该问题，可以从正反两个方面进行考虑来简化问题建立数学模型。
从正面分析：
一)以球场球门平面底线上中点为坐标原点，以底线所在的直线为x坐标轴，以底线中点与发球点的连线所在的直线为y坐标轴，以通过坐标原点垂直于球场平面的直线为z轴，从而建立空间直角坐标系。
(二)通过对球门球场的实际分析设球门四点的坐标分别如下a(x0,0,0),a’(x0,0,z0),b(-x0,0,0),b’(-x0,0,z0).在xoy平面内任意取一点(x1,y1,0),设运动员踢球的初速度为向量v,大小为v,方向余弦为n=(cosà ,cos ,cos) ,记足球从踢出点到球门所用的时间为t,则足球在三维直角坐标系内的运动轨迹可表示为(忽略空气流动对足球的影响) :
1)x=x1+v*cosà*t
2)y=y1+v*cos*t
3)z=0+v*cos-1/2gt2=vcost-5t2(简化g=10n
球门在空间上可以用平面方程来表示，即：
y=0|x|≤x0
0≤z≤z0
足球打中球门必须满足以下方程：
4)|x1+v*cosà*t|≤x0
5)y1+v*cos*t=0
6)0≤v*cos*t-5t2≤z0
对上述三式整理可得：
7)|x1-(y1*cosà)/cos|≤x0
8)0≤(-y1cos)/cos-[5(y1)2]/v2(cos)2≤z0
即也就是：9)(x1-x0)/y1≤cosà/cos≤(x1+x0)/y1
10)-zo≤/[v)2*(cos)2] ≤0
以一定的距离射门时，足球运动员的射门时的速度v往往是不确定的，通过速度的连续变化即可把其看成一变量，而cosà,cos,cos三个量也是从向量v中分离出来的。因此，把其变成有这四个变量所决定的函数，带入各量的值即可解出打进门的概率。即球门危险度。
从反面分析：
建立此模型可大大简化解题步骤，并且容易理解，要比从正面分析更清晰。具体建立方法如下：
先定义一个球场的有效面积(代表在此面积内的任意一点射门都可对球门造成威胁)s=lm*lw.
然后还需将水平位移与球门中心点和中场发球点的连线之间的夹角用a来表示。
(1) 用lm1表示以任意速度的所能达到的最大距离，可表示为：
*v*cos(45)=lm1;
最小距离为0;
而v的范围是0到vm ;
2)设从球门内向外发射足球时的水平速度vw与球门中心线的夹角a;
则沿球门中心点和中场发球点连线方向的距离为la=lm1*cosa
由上述两式：
在从球门内发球到最大落地点的距离内随着速度v竖直方向的夹角b的不断变化，在此范围内都能有球打到。这样不断变换速度就可不断得到球的落点范围。显而易见，由不同的速度确定的范围有包含关系，那么包含重叠的越多也就说明发射球时落到该点的概率越大，也就是危险程度越高。
模型结果的分析。
当足球距离球门很远时，球员使足球获得的最大速度基本上保持不变，只需考虑使足球被打进球门初始的方向，如果可供选择的方向数量越多，那么打中球门的概率就越大。
有守门员的球门危险程度的分析。
最佳射门区的确定：
设射门运动员r(xr,yr),对方守门员rg(xg,yg)，小球b（xb,yb）,当前时刻为t，当运动员r射门后，球将作直线运动，在ｔ＇时刻到达球门，与球门交与k点。在（ｔ＇t）时间内，守门员可移动的距离为l，即在δt内守门员可运动范围为n1(xg,yg+l)—n2（xg,yg-l）.设门柱为p1(xp1,yp1)、p2(xp2,yp2)，这样虚线p1b、p2b、n1b、n2b将球场分成ⅰ、ⅱ号区域。
很明显，只有运动员在ⅱ区域**门，即使对方守门员判断正确并立即去拦球，也会因为时间不够而拦不住球。因此，区域ⅱ为最佳射门区。
最佳射门点的确定。
设球门线的横坐标为x,bm为球门线的垂线，bk为射门时球的运动轨迹，其与x轴的夹角为α，则射门距离bk为bk=（x-xb）/cos α,射门时间为t=t＇ –t.
运动员r踢球以后，球做匀减速直线运动，设初速度v，因为射门路径很短，可以假设球做匀速直线运动，则t=bk/v=(x-xb)/(vcos α)在此时间内，rg可移动的距离l为l≤vmax*t.要保证射门运动员射门成功，须满足yb-mk≤yg-l,或yb+mk≥yg+l,则α≥arcsin-β，或α≥arcsin + 其中， βarctan.
设球门线中点的坐标为po(xpo,ypo),若ygα=arcsin + 线段p1n2的中点k为最佳射门目标点坐标为①xk=x,②yk= [yp1+yb+(x-xb)*tanα]
若yg>ypo取α=arcsin-β，线段p2n2的中点k最佳射门目标点坐标为①xk=x,②yk= [yp2+yb-(x-xb)*tanα].
模型的优点与缺点的分析。
一） 优点：
2 模型在建立的过程中从正反两面的角度考虑问题，使得模型建立的多样化。
3 该模型的实用性强，对我们国家的足球现状有一定的指导作用。
二） 缺点：
该模型不能更好的结合足球运动员的实际情况来解决问题，偏重于理论计算。
参考文献。1 机器人足球射门的研究（韩薛冬，洪炳荣，孟伟）；
2 基于动态基准元的机器人足球射门研究（王月海，董天祯，洪炳镕）；
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