数学建模**。
题目：人口增长模型的确定。
专业、姓名。
专业、姓名。
专业、姓名。
人口增长模型。
摘要。随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—2023年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。
**美国未来的人口。对于问题我们选择建立logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，logistic 模型引进常数n 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的**，作数据分析**，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行**。
**接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.
4904 ， 310.9222 325.8466。
关键词：人口** logistic模型指数模型。
1、问题重述。
1790-2023年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
表1 人口记录表。
试用以上数据建立马尔萨斯(malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年**五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行**。
2、问题分析。
人口**是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的**方案，进行比较。
人口**可按**期长短分为短期** (5年以下)、中期**(5～20年)和长期**(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期**这两种情况分开讨论。中短期**中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。
3、问题假设。
1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故。
或战争等而受到大的影响；
2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则。
3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制。
4、变量说明。
数据的起始时间，即2023年。
t： 时间。
r： 人口增长率。
x：人口常数最大值。
5、模型建立。
模型一。图一。
由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=ea+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数的最小值点。其中xi是ti时刻美国的人口数。利用matlab软件中的曲线拟合程序“lsqcurvefit”。
模型二。上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。
而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x，我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x)，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t时，静增长率趋于零。
按照这个假设，得到。
这便是荷兰数学家verhulst于19世纪中叶提出的阻滞增长模型（logistic模型）。
利用分离变量法，人口的变化规律为：
利用matlab软件中的“lsqcurvefit”命令和函数(2) 来拟合所给的人口统计数据，从而确定出(2)中的待定参数r和x。
模型三。从图5 看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的**应该更好。因此，把用函数(2)来拟合所给人口统计数据的评价准则略加修改，看效果如何。
将拟合准则改为：
其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。
6、模型求解。
模型一。图二。
a =0.0154 -25.1080
x1 =279.0104
x2 =325.6156
x3 =380.0056
x4 =443.4808
x5=517.5587
模型二。图三。
a =285.8931 0.0286
x1=230.9149
x2 =242.5078
x3 =252.0148
x4 =259.6639
x5 =265.7242
模型三。图四。
a =388.7178 0.0260
x1 =251.4949
x2 =273.5988
x3 =293.4904
x4 =310.9222
x5 =325.8466
7、结果分析。
从图二可以看出，模型一对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数。
这时模型二比较符合。从图三看，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的**应该更好。因而用将模型二进行改进后的模型三拟合，此时后面的值更为拟合，**结果更为准确。
所以，1990-2023年的人口**数目为251.4949，273.5988
293.4904，310.9222，325.
8466（百万），经过与1990,2000,2010的实际查找数据（251.4，281.4,308.
7）比较，误差较小，可以作为**数据。
8、参考文献。
1】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出2003
9、附录。一．
function f=fun1(a,t)
f=exp(a(1)*t+a(2));
t=1790:10:1980;
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ..
plot(t,x,'-
a0=[0.001,1];
a=lsqcurvefit('fun1',a0,t,x)
ti=1790:5:2040;
xi=fun1(a,ti);
hold on
plot(ti,xi,’.
t1=1990;
x1=fun1(a,t1)
t2=2000;
x2=fun1(a,t2)
t3=2010;
x3=fun1(a,t3)
t4=2020;
x4=fun1(a,t4)
t5=2030;
x5=fun1(a,t5)
hold off
二．x=1790:10:1980;
y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ..
plot(x,y,'-
a0=[0.001,1];
a=lsqcurvefit('fun3',a0,x,y)
xi=1790:5:2040;
yi=fun3(a,xi);
hold on
plot(xi,yi);
t1=1990;
x1=fun3(a,t1)
t2=2000;
x2=fun3(a,t2)
t3=2010;
x3=fun3(a,t3)
t4=2020;
x4=fun3(a,t4)
t5=2030;
x5=fun3(a,t5)
hold off
三．function f=fun4(a)
n=16;w=30;
x=1790:10:1980;
x1=x(1:n);
x2=x(n+1:20);
y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ..
y1=y(1:n);
y2=y(n+1:20);
f=[fun3(a,x1)-y1,w*fun3(a,x2)-w*y2];
t=1790:10:1980;
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ..
plot(t,x,'-
a0=[300,0.03];
a=lsqnonlin('fun4',a0)
ti=1790:5:2040;
xi=fun3(a,ti);
hold on;
plot(ti,xi,t,x,'*
t1=1990;
x1=fun3(a,t1)
t2=2000;
x2=fun3(a,t2)
t3=2010;
x3=fun3(a,t3)
t4=2020;
x4=fun3(a,t4)
t5=2030;
x5=fun3(a,t5)
hold off
数学建模 人口增长模型
人口增长模型。数学089班王敬华丘创权黄建其。摘要。本文根据某个地区的人口从1800年到2000年间的人口数据，利用matlab7.0数据拟合，建立线性增长模型和二次函数增长模型，并对2010年的人口数进行 在本文中，二次函数增长模型拟合的效果明显比线性增长模型差，用线性函数增长模型 出2010年该...
数学建模logistic人口增长模型
建立logistic人口阻滞增长模型 利用表1中的数据分别根据从1954年 1963年 1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行 我国未来50年的人口情况。并把 结果与 国家人口发展战略研究报告 中提供的 值进行分析比较。分析那个时间段数据 的效果好？并结合中国实情分析原因。表1 各年份全...
微积分方法建模2经济增长模型 数学建模案例分析
2 经济增长模型。发展经济 增加生产有两个重要因素，一是增加投资 扩大厂房 购买设备 技术革新等 二是增加劳动力。恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高，从而真正起到发展经济的作用。为此，需要分析产量 劳动力和投资之间变化规律，从而保证经济正常...