摘要： 文章首先介绍了建立数学模型的基本步骤与方法， 通过具体实例讨论了matlab 在数学建模中的应用。 将 matlab 应用在数学建模中， 可以非常方便地求解模型， 从而提高了数学建模的效率与质量。
关键词： 数学建模； matlab
近几十年来， 数学科学迅速向自然科学、 工程、 经济、 管理和社会科学等各个领域渗透， 在许多方面发挥着越来越重要的作用， 在很多情况下起着举足轻重、 甚至决定性的作用； 数学建模和与之相伴的计算正在成为工程设计中的关键工具， 数学科学与计算机技术结合， 形了一种普遍的、可以实现的关键技术—— 数学技术，并已经成为当代高新技术的一个重要的组成部分。“ 高技术本质上是一种数学技术” 已为越来越多的人们所认同。用数学方法解决各类问题或实施数学技术， 首先要求将所考虑的问题数学化， 即建立数学模型， 这就使数学建模日益显示其关键作用， 成为现代应用数学的一个重要领域。
matlab 这一数学软件能够非常方便、 快捷、 高效的解决数学建模所涉及的众多实际问题， 其功能和规模比其他数学软件强大的多。本文主要通过具体实例讨论matlab 在数学建模中的应用， 增强解决实际问题的能力。
一、 数学建模的一般步骤。
数学建模并不是新东西， 粗略地说，数学建模是一个多次迭代的过程， 每一次迭代大体上包括： 实际问题的抽象、 简化，做出假设， 明确变量和参数； 形成明确的数学问题； 以解析形式或者数值形式求解该数学模型； 对结果进行解释、 分析以及验证； 若符合实际即可， 不符合实际则要进行修改， 进入下一个迭代。其一般过程如图 1 所示。
第一， 模型准备。了解实际背景， 明确建模目的， 搜集有关信息，掌握对象特征， 形成一个比较清晰的 “ 问题” 。第二， 模型假设。
针对问题特点和建模目的， 做出合理的、 简化的假设。在合理与简化之间作出折中。对数据资料进行分析计算， 找出起主要作用的因素， 经过必要的精炼、 简化， 提出若干符合客观实际的假设。
第三， 模型构成。用数学的语言、符号描述问题。发挥想象力， 使用类比法。
尽量采用简单的、 适当的数学工具表达各变量之间的关系， 建立相应的数学结构， 即建立数学模型。第四， 模型求解。利用各种数学方法数学软件和计算机技术。
在难以得出解析解时， 借助计算机求出数值解。第五， 模型分析。结果的误差分析、模型对数据的稳定性分析。
第六， 模型检验。与实际现象、 数据比较， 检验模型的合理性、 适用性。第七， 模型应用。
通过检验， 模型与实际相符后， 投入实际应用， 解决实际问题。
二、 matlab 的功能与特点。
matlab 是美国 mathworks 公司自 20世纪 80 年代中期推出的数学软件， 优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。随着数值运算的演变， 它逐渐发展成为各种系统**、 数字信号处理、 科学可视化的通用标准语言。在科学研究和工程应用的过程中， 往往需要大量的数学计算， 传统的纸笔和计算机已经不能从根本上满足海。
量计算的要求， 一些技术人员尝试使用basic、 fortran、 c、 c++等语言编写程序来减轻工作量。但编程不仅仅需要掌握所用语言的语法， 还需要对相关算法进行深入分析， 这对大多数科学工作者而言有一定的难度。与这些语言相比， matlab 的语法更简单， 更贴近人的思维方式。
用 matlab编写程序， 犹如在一张演算纸上排列公式和求解问题一样， 因此被称为“ 科学便笺式” 的科学工程计算语言。matlab 是集数值计算、 符号运算、 图形处理及程序设计等强大功能于一体的， 已经发展成为多学科、多种工作平台的科学和工程计算软件。
matlab 的主要特点是： 有高性能数值计算的高级算法， 特别适合矩阵代数领。
域； 有大量事先定义的数学函数， 并且有很强的用户自定义函数功能； 有强大的绘图功能以及具有教育、 科学和艺术学的**和可视化的二维、 三维； 基于 html 的完整的帮助功能； 适合个人应用的强有力的面向矩阵(向量)的高级程序设计语言；能与其它语言编写的程序结合， 输入、 输出格式化数据； 有在多个应用领域解决难题的工具箱。
三、 matlab 在数学建模中的应用举例。
正因为 matlab 这一数学软件能够非常方便、 快捷、 高效地解决数学建模所涉及的众多实际问题， 因此， matlab 在数学建模中为许多建模工作者重视。
例 1: (包含无风险**的投资组合问题)
金融市场上有两种**： 风险**和无风险**。我们一般称风险**为**， 其收益率不确定； 无风险**称为债券， 其收益率是确定的。
通常情况下， 无风险利率也可以认为是国有银行的存货款利率。
设金融市场上有两种风险** a 和b, 它们的期望收益率分别为ra=12%、 rb=12% ,方差分别为 σ2a=10 , 2b=10, 协方差σ2ab=0。同时， 市场上还有一种无风险债券， 利率为 rf=6%, 试构造一种投资组合，使得风险最小。
解： 分析与假设： 假设市场上有 n 种风险**和一种无风险**， 以 x=(x1,x2,…,xn)t 表示 n种风险**上的投资比例，则 1- xti 就是在债券上的投资比例。
模型的建立： 对给定的 n种风险**的期望收益率r i和风险 σi2及协方差 σ ij(i,j=1,2,…n,i≠j), 无风险债券的期望收益率rf, 如果给定投资组合的期望收益率rp, 则可以求出投资比例 x, 使得投资收益率的协方差 σ p2最小， 可以转化为求解如下规划问题：
其中 v为协方差矩阵， i 为 n维单位向量。
设总资本单位为 1, 分别以比例 x1 购买** a, x2 购买** b, x3 购买无风险债。
券， 则可以建立如下的规划问题：
因为债券无风险， 所以方差、 协方差都为 0, rp 为投资组合的期望收益率。
根据两**分离定理， 任意指定一个期望收益率 rp 如令 rp=10%目标函数为二次的， 约束条件为一次的。应用 lagrange数乘法， 得到x1=6/19,x2=20/19,x3=- 7/19
也就是说， 为了获得 10%的期望收益率， 应以无风险利率从银行贷款 7/19 单位， 将贷款和手中已有的 1 单位现金的总和的 6/19 购买 a**， 20/19 购买 b**。
故投资比例为 a:
b:由于这并不是标准的线性规划问题，需要用到 lagrange 数乘法， 进而求解线性方程组。
例 2: (极大似然估计的原理： 关于废品率的问题)
厂家每生产一批产品， 总有**或废品的区分， 那么我们自然关心每批产品的废品率的问题。例如， 某质检员在某批产品中抽取 50 件产品进行检验， 根据以往经验将产品质量分为 6 个档次， 对应废品率分别为 0.01、 0.
02、 0.03、 0.04、 0.
05、 0.06。现在质检员要对 50 件产品检查的结果，决定该批产品档次， 我们为他提供一种合理方案。
解： 分析与假设： 模拟抽样数据。
设想有一批产品， 可以设定它们的档次， 例如设废品率为 p=0.04。随机抽取 n=50 个样品检验。
一件产品非正即废， 用统计术语以随机变量 x表示这一事实， 则有 x
其中 1 表示产品为废品， 反之为**， 显然x服从两点分布， 即 p(x=1)=p,p(x=0)=q=1-p , 称 x为总体， 它的分布为总体分布。总体分布决定了产品的档次， p 的取值范围是 0.01、 0.
02、 0.03、 0.04、 0.
05、 0.06。质检员对产品 n 次抽样相当于对总体 x复制了 n 次， 得到了 n 个独立同分布的随机变量 x1,x2λ xn。
x1,x2λ xn 称为容量为 n 的简单样本， n 次抽样就相当于对总体 x作 n 次模拟。 模拟的结果相当于得到了简单样本的一组样本观察值 x1,x2λ xn。
似然函数 l(p)的定义如下：
l(p)=p(x1=x1,x2=x2lxn=xn)=p(x1=x1)p(x2=x2)…p(xn=xn)=px1q1- x1px2
q1- x2llpxnq1- xn
要注意的是，因 xi仅取 0 或 1 的值， 故。
p(xi=xi)=pxiq1- xi=p xi=1
1- p xi=. 0
所以 pxiq1- xi是两点分布的另一种表示。
当质检员获得一批样本， 需要根据样本推断 p 的哪一个值更接近真实总体。显然， 应该有一个度量指标来衡量未知参数和总体的相似性， 似然函数正是这样的相似指标， 由上式得知： l( p)是简单样本 x1,x2…xn 取值于某个特定观察值 x1,x2…xn的联合概率， 而 x1,x2…xn 反映了真实总体x的某些特征。
因此， 对于 p 的两个可能取到的值 p1,p2, 如果有 l( p1) 四、 结论。
从以上优化问题和高等统计学问题这两个实例中， 可以看出 matlab 在数学建模中的巨大优势， 充分显现出了其强大的数值计算、数据处理和图形处理功能， 无论是在建立模型的哪个阶段， matlab 都有其他语言无法比拟的高效、 快捷、 方便的功能， 大大提高了数学建模的效率， 丰富了数学建模的方法和手段， 有力地促进了问题的解决。另外， 将 matlab 应用于实际的教学过程中， 可以激发学员学习数学的兴趣和热情， 从而提高学员运用所学数学知识分析、 解决实际问题的能力。
2、 飞思科技产品研发中心。matlab7 基础与提高[m].电子工业出版社，2005.
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