1.三种插值方法。
拉格朗日多项式插值。
构造基函数。
插值多项式。
分段线性插值。
将每两个相邻的节点用直线连起来，即在每个小区间上是线性函数。有现成命令。
三次样条插值。
一根有弹性的细长木条固定在节点上，其他地方自然弯曲，如此称为样条曲线。普遍使用的样条函数是分段三次多项式：在每个小区间上是三次多项式，在大区间上二阶导数连续，通过全部节点。
有现成命令。
例子。对，用11个等分节点作上述三种插值，用21个等分插值点作图。比较结果，spline插值最好。
2.数据拟合。
2.1多项式拟合。
指令方法。x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y=[9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
p=polyfit(x,y,3);
xi=0:.2:10;
yi=polyval(p,xi);
plot(xi,yi, x,y,'r*')
图形窗口方法。
x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9]; y=[9 7 6 3 -1 2 5 7 20]; plot(x,y,'r*')
2.2指定函数类型拟合。
例子。某次阻尼振荡实验中测得数据点。
x=[0;0.4;1.2;2;2.
8;3.6;4.4;5.
2;6;7.2;8;9.2;10.
4;11.6;12.4;13.
6;14.4;15];
y=[1;0.85;0.29;-0.
27;-0.53;-0.4;-0.
12;0.17;0.28;0.
15;-0.03;-0.15;-0.
071;0.059;0.08;0.
032;-0.015;-0.02];
f=fittype('a*cos(k*t)*exp(w*t)',independent','t','coefficients',)
cfun=fit(x,y,f)
xi=0:.1:20;
yi=cfun(xi);
plot(x,y,'r*',xi,yi,'b-')
补充：三维图形。
例子。作曲面的图形，
作螺旋线。练习。
矩阵运算：+加法；-减法；'转置；*乘法；^乘幂；\左除；/右除。
*乘法；.^乘幂；.\左除；./右除。
矩阵函数：zeros；ones；eye；rand；randn。
图形：线型：-实线；：
点线；-.虚点线；--波折线；.圆点；+加号；*星号；x x形；。
小圆。颜色：y黄；r红；g绿；b蓝；w白；k黑；m紫；c青。
例子。车灯光源投影区域的绘制(cumcm2002a)
3.数值积分。
矩形公式。梯形公式(相当于将两矩阵公式平均，也相当于用分段线性插值函数作为近似)
辛普森公式(抛物线法)
例子。例子。
卫星轨道长度。
人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439km，远地点距地球表面2384km，地球半径为6371km，求该卫星的轨道长度。
4.数值微分。
前差公式。后差公式。
中心差商。前差形式数值微分，现成命令：diff(x)。输入x是n维数组，输出为n-1维数组。
5.常微分方程数值解。
设，其中f适当光滑，对y满足lipschitz条件，以保证解存在且唯一。
在一系列离散点上求的近似值，通常取等步长，即。
向前欧拉公式。
在小区间上用差商代替方程左端的导数，方程右端中的取小区间的左端点，可得。
从出发，由初值，得到的近似值为(以下用代替)
再以作为的近似值，得到的近似值为。
继续下去，一般地。
龙格库塔方法。
按照微分中值定理有。
注意到方程就有。
记，称为区间上的平均斜率。
向前欧拉公式简单地取为，精度很低。
龙格库塔方法的基本思想：在区间内多取几个点，将它们的斜率加权平均作为。
取2个点，2阶龙格库塔公式。取4个点，4阶龙格库塔公式。
有现成的命令：
t,x]=ode23('f',ts,x0,options)
t,x]=ode45('f',ts,x0,options)
其中，f是由待解方程写成的m文件名；ts为自变量的取值；x0为函数的初值；options用于设定误差限(可以缺省，缺省时设定为相对误差，绝对误差)，设定命令：options=odeset('reltol',rt,'abstol',at)，rt，at分别为设定的相对误差和绝对误差。t，x为输出的自变量和函数值。
例子。单摆运动。
方程，初始条件。
在不大的条件下，可将方程中的近似为，于是得到线性常系数微分方程，容易算出其在初始条件下的解为。
当较大时，若仍用近似，误差太大了。试用数值方法在等于和两种情况下求解(设)，画出的图形，并与近似解的结果比较。
先将它化为方程组。令，则方程化为，初始条件为，其中，，为弧度和弧度两种情况。
对于近似解，周期。
可以看出，初始角度为时精确(数值)解与近似解相差不大，而初始角度为时，随着时间的增加二者差别就很大了。
食饵-捕食者模型。
食饵甲和捕食者乙在时刻的数量分别记作和。
当甲独立生存时它的(相对)增长率为，即，而乙的存在使甲的增长率减小，设减小的程度与乙的数量成正比，于是满足，比例系数反映捕食者掠取食饵的能力。
捕食者离开食饵无法生存，设乙独自存在时死亡率为，即，而甲的存在使乙的死亡率降低，设这个作用与甲的数量成正比，于是满足，比例系数反映食饵对捕食者的供养能力。
设初始数量分别为。
设，求数值解，画出函数和的图形以及相图。
6.线性规划。
linprog linear programming
x=linprog(f,a,b) solves the linear programming problem:
min f'*x subject to: a*x <=b x例子。
c=[2;3;1];
a=[1,4,2;3,2,0];
b=[8;6];
x,y]=linprog(c,-a,-b,zeros(3,1))
c=[2;3;-5];
a=[-2,5,-1];
b=-10;
aeq=[1,1,1];
beq=7;
x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))
value=c'*x
7.优化工具箱。
help optim查看优化工具箱的帮助信息。
基本程序名：
fmin,fminu,fmins,leastsq,curvefit,constr,lp,qp,minimax,nnls,conls,fzero,fsolve等。
例子。求解，
本题精确结果为x=y=0)
用下面一组数据拟合中的系数r和k。(也可以用指定函数类型拟合)
t=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8];
c=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01];
控制参数options的设置。
18个参数。
1，输出形式，1表示有中间结果输出，0表示无中间结果输出。
2，解的精度。
3，函数的精度。
4，约束的精度，8，函数值输出，10，函数计算次数。
例子， 将解和函数值的精度提高到，给出迭代次数及结果的函数值。
8.灰色**算法实现。
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