初等数论第三次作业。
答案。计算题。
2．求487与468的最小公倍数。
解：作辗转相除法a = 487 468= b
468 1 = q1
b = 468 19=r1
456 24=q2
r1= 19 12=r2
12 1=q3
r2=12 7=r3
7 1=q4
r3=7 5=r4
5 1=q4
r4 =5 2=r5
4 1=q5
r5 =2 1=r6
2 1=q6
0=r7所以（487，468）=1，所以[487，468]=487×468= 227916
3．求1050与858的最大公因数。
解因为1050 = 23527，858 = 231113，所以(1050，858) =23 = 6。
4．求1001！中末尾0的个数。
解：因为10=25，所以1001！中末尾相当于1001！
的质因数分解式中25的个数。由于2<5，所以1001！的质因数分解式中2的个数比5的个数要多，因此，只要考察1001！
中因子5的个数即可。因为：1001÷5=200……1，1001÷52=40……1，1001÷53=8……1，1000÷54=1……375
又因为200+40+8+1=249
所以答案为249。
即1001！中末尾0的个数为249个。
5、求不定方程3x + 5y = 20的一切非负整数解。
解：因为（3，5）=1，所以不定方程有整数解。由观察知x0 = 0，y0 = 4是不定方程3x+5y=20的一个整数解，所以不定方程3x+5y=20的一切整数解是。
其中t取一切整数。
由可解得，所以，故不定方程的一切非负整数解为。
7．求不定方程15x + 10y + 6z = 61的一切整数解。
解：不定方程的一切整数解为，其中u，v取一切整数。
8．计算欧拉函数值：（100）。
解：100 = 2252，由公式有。
10．解同余式组：
解：因为2，3，5两两互质，所以由孙子定理该同余式组有一个解。由孙子定理可得该同余式组的解为x 1(mod 30)。
11．解同余式28x 21 (mod 35)。
解： 因为（28，35） =7，而7|21，所以同余式28x ≡ 21(mod 35)有解，且有7个解。同余式28x ≡ 21(mod 35)等价于4x ≡ 3(mod 5)，解4x ≡ 3(mod 5)得x ≡ 2(mod 5)，故同余式28x ≡ 21(mod 35)的7个解为x ≡ 2，7，12，17，22，27，32(mod 35)。
初等数论第四次作业。
1．设n是正整数，证明6| n(n + 1)(2n + 1)。
证明：用数学归纳法来证明。
1）当n=1时，n(n+1)(2n+1)=1×(1+1)×(2×1+1)=1×2×3=6 ， 而6|6，所以当n=1时，命题成立。
2）假设当n=m时命题亦成立，即6|m(m+1)(2m+1)
3) 则当n=m+1时，n(n+1)(2n+1)=(m+1)(m+1+1)[2(m+1)+1]
m+1)(m+2) (2m+3)
m(m+1)(2m+3)+ 2(m+1)(2m+3)
m(m+1)(2m+1+2)+ 2(m+1)(2m+3)
m(m+1)(2m+1)+2 m(m+1)+ 2(m+1)(2m+3)
m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(m+2m+3)
m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(3m+3)
m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2
因为由假设6|m(m+1)(2m+1)成立。
而6|6(m+1)2
所以6|m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2
故当n=m+1时，命题亦成立。
所以6| n(n + 1)(2n + 1)
证毕。2.．证明：设m, n为整数，求证m+n, m-n与mn中一定有一个是3的倍数。
证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；
若m是3的倍数加1，n是3的倍数加1，则m-n是3的倍数；
若m是3的倍数加1，n是3的倍数加2，则m+n是3的倍数；
若m是3的倍数加2，n是3的倍数加1，则m+n是3的倍数；
若m是3的倍数加2，n是3的倍数加2，则m-n是3的倍数，结论成立。
4．证明：若n为自然数，求证9n+18n+9(mod 64)。
证明：因为91(mod 8)，所以9k1(mod 8)，k=2，3，…，n-1，于是。
9n-1+…+92+9+1n(mod 8)，所以9(9n-1+…+92+9+1) n(mod 8)，从而9(9-1)(9n-1+…+92+9+1) 8n(mod 64)，即9(9n-1) 8n(mod 64)，所以。
9n+18n+9(mod 64)。3．若p为奇质数，证明2p | 22p-1–2)。
5.证明：因为p为质数，所以(p)=p-1，又p为奇质数，所以(2，p)=1，于是由欧拉定理得2p-11(mod p)，两边平方得22p-21(mod p)，再由同余的性质有222p-22(mod 2p)，即：
22p-12(mod 2p)。所以2p|(22p-1-2)。
初等数论作业 3 答案
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