2023年秋初等数论第三次作业

发布 2020-02-26 09:55:28 阅读 2955

初等数论第三次作业。

计算题。1.求169与121的最大公因数。

解:(169,121)=(169 – 121,121)

2.求出12!的标准分解式。

解:,所以12!的标准分解式为。

3.求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。

解:因为(3,4)= 1,所以不定方程有整数解。

观察知x = 3,y = 2是其一个整数解。

由公式知其一切整数解为,t为整数。

4.求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。

解:因为(7,2)=1,1|1,所以不定方程有解。观察知其一个整数解是。

于是其一切整数解为,t取一切整数。

5.解同余式3x 1 (mod 7)。

解:因为(3,7)= 1,所以同余式有解且有一个解。

由3x - 7y = 1得,

所以同余式的解为。

6.解同余式3x 8 (mod 10)。

解:因为(3,10)=1,1|8,所以同余式有解,并且只有一个解。由得一个解,所以同余式的解为。

7.解同余式28x 21 (mod 35)。

解:因为(28,35) =7,而7|21,所以同余式28x 21(mod 35)有解,且有7个解。同余式28x 21(mod 35)等价于4x 3(mod 5),解4x 3(mod 5)

得x 2(mod 5),故同余式28x 21(mod 35)的7个解为。

x 2,7,12,17,22,27,32(mod 35)。

8.解同余式组:

解:由得,将其代入。

得,解得,即,所以,所以解为。

9.解同余式组:

解:由得,将其代入。

得,解得,即,所以,所以解为。

10.解同余式组:

解:由得,将其代入得。

即,解得,所以。

于是。所以同余式组的解为。

11.解同余式组:

解:因为2,3,5两两互质,所以由孙子定理该同余式组有一个解。由孙子定理可得该同余式组的解为x 1(mod 30)。

12.一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积,这个数有许多的约数。

是两位数,求出这些两位约数中最大的那一个。

解:设这个数为n,则由已知条件可得。

由于11|99,,97|97,所以99,98,97都不是n的约数。

又,所以96是n的约数,所以n的两位约数中最大的为96。

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第三次作业

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