2023年全国高考文科数学试题分类汇编3 三角函数。
c1 角的概念及任意角的三角函数。
2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝
a. b.
c．－ d．－
2．d [解析] 根据题意，cos α＝
c2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式。
18．，，2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
1)求f的值；
2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一：
1)f＝2cos
－2cos＝2.
2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
sin 2x＋cos 2x＋1
sin＋1，所以t＝＝π故函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈z.
方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
sin 2x＋cos 2x＋1
sin＋1.
1)f＝sin＋1sin＋1
2)因为t＝＝π所以函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈z.
2．、[2014·全国新课标卷ⅰ] 若tan α＞0，则( )
a．sin α＞0 b．cos α＞0
c．sin 2α＞0 d．cos 2α＞0
2．c [解析]
因为sin 2α＝＝0，所以选c.
17．，，2014·山东卷] △abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos a＝，b＝a＋.
1)求b的值；
2)求△abc的面积．
17．解：(1)在△abc中，由题意知，sin a＝＝.
又因为b＝a＋，所以sin b＝sin＝cos a＝.
由正弦定理可得，b＝＝＝3.
2)由b＝a＋得cos b＝cos＝－sin a＝－.
由a＋b＋c＝π，得c＝π－a＋b)，所以sin c＝sin[π－a＋b)]
sin(a＋b)
sin acos b＋cos asin b
因此△abc的面积s＝absin c＝×3×3×＝.
c3 三角函数的图象与性质。
16．、[2014·安徽卷] 设△abc的内角a，b，c所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△abc的面积为。求cos a与a的值．
16．解： 由三角形面积公式，得。
3×1·sin a＝，故sin a＝.
因为sin2a＋cos2a＝1，所以cos a＝±＝
当cos a＝时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos a＝32＋12－2×1×3×＝8，所以a＝2.
当cos a＝－时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos a＝32＋12－2×1×3×＝12，所以a＝2.
7．[2014·福建卷] 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( )
a．y＝f(x)是奇函数
b．y＝f(x)的周期为π
c．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
d．y＝f(x)的图像关于点对称。
7．d [解析] 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)＝sin的图像，即f(x)＝cos x．由余弦函数的图像与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x＝kπ(k∈z)对称，关于点(k∈z)对称，故选d.
图125．、[2014·江苏卷] 已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)0≤φ<它们的图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是___
5. [解析] 将x＝分别代入两个函数，得到sin＝，解得π＋φ2kπ(k∈z)或π＋φ2kπ(k∈z)，化简解得φ＝－2kπ(k∈z)或φ＝＋2kπ(k∈z)．又φ∈[0，π)故φ＝.
7．[2014·全国新课标卷ⅰ] 在函数①y＝
cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
a．①②b．①③
c．②④d．①③
7．a [解析] 函数y＝cos|2x|＝cos 2x，其最小正周期为π，①正确；将函数y＝cos x的图像中位于x轴上方的图像不变，位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方，即可得到y＝|cos x|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y＝cos的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan的最小正周期为，④不正确．
c4 函数的图象与性质。
8．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈r.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
a. b. c．π d．2π
8．c [解析] ∵f(x)＝2sin＝1，sin＝，∴x1＋＝＋2k1π(k1∈z)或 ωx2＋＝＋2k2π(k2∈z)，则ω(x2－x1)＝＋2(k2－k1)π.又∵相邻交点距离的最小值为，∴ω2，∴t＝π.
7．[2014·安徽卷] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
a. b.
c. d.
7．c [解析] 方法一：将f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin的图像，由所得图像关于y轴对称，可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈z，即φ＝＋k∈z，又φ>0，所以φmin＝.
13．[2014·重庆卷] 将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图像，则f
13. [解析] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx＋φ)的图像，再向右平移个单位长度，得到y＝sin2ωx－＋φsin的图像．由题意知sin＝sin x，所以2ω＝1，－＋2kπ(k∈z)，又－≤φ所以ω＝，所以f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝.
16．[2014·北京卷] 函数f(x)＝3sin的部分图像如图14所示．
图141)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
16．解：(1)f(x)的最小正周期为π.
x0＝，y0＝3.
2)因为x∈，所以2x＋∈.
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
18．，，2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
1)求f的值；
2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一：
1)f＝2cos
－2cos＝2.
2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
sin 2x＋cos 2x＋1
sin＋1，所以t＝＝π故函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈z.
方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
sin 2x＋cos 2x＋1
sin＋1.
1)f＝sin＋1sin＋1
2)因为t＝＝π所以函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈z.
9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
a．l1⊥l4
b．l1∥l4
c．l1与l4既不垂直也不平行
d．l1与l4的位置关系不确定。
9．d [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．
如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，设bb1是直线l1，bc是直线l2，ad是直线l3，则dd1是直线l4，此时l1∥l4；设bb1是直线l1，bc是直线l2，a1d1是直线l3，则c1d1是直线l4，此时l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．
18．、、2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
1)求实验室这一天上午8时的温度；
2)求实验室这一天的最大温差．
18．解：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，又0≤t<24，所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
11．[2014·辽宁卷] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( )
a．在区间上单调递减。
b．在区间上单调递增。
c．在区间上单调递减。
d．在区间上单调递增。
11．b [解析] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，得到y＝3sin的图像 ，函数单调递增，则－＋2kπ≤2x－π≤2kπ，k∈z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈z，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈z，当k＝0时，可知函数在区间上单调递增．
14．[2014·新课标全国卷ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)2sin φcos x的最大值为___
14．1 [解析] f(x)＝sin(x＋φ)2sin φcos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)其最大值为1.
7．[2014·全国新课标卷ⅰ] 在函数①y＝
cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
a．①②b．①③
c．②④d．①③
7．a [解析] 函数y＝cos|2x|＝cos 2x，其最小正周期为π，①正确；将函数y＝cos x的图像中位于x轴上方的图像不变，位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方，即可得到y＝|cos x|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y＝cos的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan的最小正周期为，④不正确．
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