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2010 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式： 样本数据 x1 , x2 l xn 的标准差锥体体积公式。
s =1 (x x )2 + x 2 x )2 + l + x n x )2 n 1
v =1 sh 3
其中 x 为样本平均数柱体体积公式。
v = sh
其中 s 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式 3 s = 4π r 2 , v = r 3 4 其中 r 为球的半径。
其中 s 为底面面积，h 为高。
第ⅰ卷。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
**：学科网]
1）已知集合 a = x x ≤ 2, x ∈ r, b = x | x ≤ 4, x ∈ z | 则 a i b = a） 0，2） （b）[0，2] （c）|0，2| （d）|0，1，2| （2）a，b 为平面向量，已知 a=（4，3） 2a+b=（3，18） ，则 a，b 夹角的余弦值等于 8 8 16 16 （a） （b ） c ） d） 65 65 65 65 （3）已知复数 z =
3 +i ，则 i = 1 3i ) 2b）a)
c ）1d）2
4）曲线 y = x 2 2 x + 1 在点（1,0）处的切线方程为 （a） y = x 1 （c） y = 2 x 2 （b） y = x + 1 （d） y = 2 x + 2
5）中心在远点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2） ，则它的离心率为 （a） 6 （b） 5c）
d）6）如图，质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动， 其初始位置为 p0 （ 2 ， 2 ） 角速度为 1，那么点 p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为。
7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （a）3 π a2 （b）6 π a2 （c）12 π a2 （d） 24 π a2（8） 如果执行右面的框图，输入 n=5，则输出的数等于 5 （a） 4 4 （b） 5 6 （c ） 5 5 （d） 6
9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ≥ 0） ，则 x f ( x 2 ) 0 =
a） x x < 2或x > 4} 满足 a3 = 5 ， a10 = 9 。 求 的通项公式； （求 的前 n 项和 sn 及使得 sn 最大的序号 n 的值。 （18） （本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 p abcd 的底面为等腰梯形， ab ∥ cd , ac ⊥ bd ,垂足为 h ， ph 是四棱锥的高。
an }ⅰ）证明：平面 pac ⊥ 平面 pbd ; 若 ab = 6 , apb = adb = 60°,求四棱锥 p abcd 的体积。
请考生在第（22）（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做 、 的第一题计分。作答时用 2b 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （19） （本小题满分 12 分） 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助， 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如下：
ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例； （能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （根据（ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中， 需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
附：**：学。科。网]
20） （本小题满分 12 分） 设 f1 , f2 分别是椭圆 e： x 2 +
y2 =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 f1 的直线 l 与 b2
e 相交于 a、b 两点，且 af2 ， ab ， bf2 成等差数列。
ⅰ）求 ab （ⅱ若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值。 （21）本小题满分 12 分） 设函数 f ( x ) x ( e x 1) ax 2 （ⅰ若 a=
1 ，求 f( x )
的单调区间； 2
**：学科网]
ⅱ）若当 x ≥0 时 f( x ) 0，求 a 的取值范围 （22） （本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧 ac = bd ，过 c 点的圆的切线与 ba 的延长线交于。
e 点，证明：
ⅰ） ace = bcd 。 bc 2 =be x cd。 （23） （本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程已知直线 c1 ：。图 c2 ： x= cos
y= sin θ
时，求 c1 与 c2 的交点坐标： y=tsina
ⅱ）过坐标原点 o 做 c1 的垂线，垂足为 a、p 为 oa 的中点，当 a 变化时， 求 p 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 （24） （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲设函数 ∫ x) =2 x 4 + 1。
（画出函数 y= ∫x) 的图像： （若不等式 ∫ x) ≤ax 的解集非空，求 n 的取值范围。
**：学科网]
答案一：选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
（1）d (2) c (3) d (4) a (5) d (6) c (7) b (8) d (9) b (10) a (11)b (12)c 二：填空题：本大题共 4 小题，每小题五分，共 20 分。
n （ 13 ） x2+y2=2 (14) 1 (15n (16)2+ 5 三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2)因为 abcd 为等腰梯形，ab cd,ac ⊥ bd,ab= 6 . 所以 ha=hb= 3 . 因为 ∠ apb= ∠adr=600 所以 pa=pb= 6 ,hd=hc=1.
可得 ph= 3 . 等腰梯形 abcd 的面积为 s=
1 ac x bd = 2+ 3 . 2
…..9 分所以四棱锥的体积为 v= x（2+ 3 ）x 3 =
…..12 分。
19）解： （1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年 70 人中需要帮助的老年人的比例的估计值为 ……4 分 = 14% .500
2) k 2 = 500 × 40 × 270 30 × 160) 2 ≈ 9.967 200 × 300 × 70 × 430
由于 9.967 > 6.635 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
…8 分 （3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显再把老年人分成男，女两差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例， 层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好。 …12 分 （20）解： （1）由椭圆定义知 | f2f2 |=4 又 2 | ab | af2 | f2 |,得 | ab |=
即则。4 = 2 | x2 x1 | 3
8 4(1 b 2 ) 4(1 2b 2 ) 8b 4 = x1 + x2 ) 2 4 x1 x2 = 9 (1 + b 2 ) 2 1 + b2 1 + b2
b= 2 . 2
解得。21）解： 1 1 （ⅰa = 时， f ( x) =x(e x 1) x 2 ， f '(x) =e
x 1 + xe x x = e x 1)( x + 1) 。当 2 2
x ∈ 1) 时 f '(x) >0 ;当 x ∈ 1, 0 ) 时， f '(x) <0 ;当 x ∈ 0, +时， f '(x) >0 。
故 f ( x) 在 ( 1) ，0, +单调增加，在（-1，0）单调减少。 （f ( x) =x( x a 1 ax) 。令 g ( x) =x a 1 ax ，则 g '(x) =e x a 。
若 a ≤ 1 ，则当 x ∈ 0, +时， g '(x) >0 ， g ( x) 为减函数，而 g (0) =0 ，从而当 x≥0 时 g ( x) ≥
0，即 f ( x) ≥0.
若 a > 1 ，则当 x ∈ 0, ln a ) 时， g '(x) <0 ， g ( x) 为减函数，而 g (0) =0 ，从而当。
x ∈ 0, ln a ) 时 g ( x) ＜0，即 f ( x) ＜0.
综合得 a 的取值范围为 ( 1]
23）解： （i）当 α
时，c1 的普通方程为 y = 3( x 1) ，c2 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 .
联立方程组。
y = 3 ( x 1), 1 3 ， x = x 2 + y 2 =1, 解得 c1 与 c2 的交点为（1,0） (
ii）c1 的普通方程为 x sin α
y cos α sin α 0 .
a 点坐标为 (sin 2 a, cos a sin a ) 故当 a 变化时，p 点轨迹的参数方程为。
x = 1 sin 2 a 2 y = 1 sin a cos a 2
a 为参数）
1 1 p 点轨迹的普通方程为 ( x ) 2 + y 2 = 4 16 1 1 故 p 点是圆心为 ( 0) ，半径为的圆 4 4
…5 分 （ 由函数 y = f ( x ) 与函数 y = ax 的图像可知，当且仅当 a < 2 时，函数 y = f ( x ) 与函数 y = ax 的图像有交点。故不等式 f ( x ) ax 的解集非空时，a 的取值范围为。
…10 分。
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