2024年普通高等学校全国统一招生（全国卷2）
数学（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期是。
abcd.2
2.正方体中，分别是的中点。那么正方体的过的截面图形是。
a.三角形b.四边形c.五边形d.六边形。
3.函数的反函数是。
a. b.
c. d.
4.已知函数在内是减函数，则。
a. b. c. d.
5.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为。
a.2b.3c.4d.5
6.双曲线的渐近线方程是。
ab. cd.
7.如果数列是等差数列，则。
ab. cd.
8.的展开式中项的系数是。
a.840b.－840 c.210d.－210
9.已知点。设的平分线与相交于，那么有，其中等于。
a.2bc.-3d.
10.已知集合。
a. b.
cd. 11.点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）.设开始时点的坐标为，则5秒后点的坐标为。
a.（-2，4） b.（-30，25） c.（10，-5） d.（5，-10）
12.的顶点在平面内，在的同一侧，与所成的角分别是和。若，则与所成的角为。
a.60° b.45° c.30° d.15°
第ii卷。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13.在之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 .
14.圆心为（1，2）且与直线相切的圆的方程为。
15.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有个。
16.下面是关于三棱锥的四个命题：
底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。
底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。
侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
其中，真命题的编号是写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知为第二象限的角，为第一象限的角，的值。
18.（本小题满分12分）
甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6 .本场比赛采用五局三胜制：即先胜三局的队获胜，比赛结束。设各局比赛相互间没有影响。
前三局比赛甲队领先的概率；
本场比赛乙队以3:2取胜的概率。
19.（本小题满分12分）
已知是各项均为正数的等差数列，成等差数列。又。
证明：为等比数列；
如果数列前3项的和等于，求数列的首项和公差。
20.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面。,分别为的中点。
1）求证：;
2）设，求与平面所成的角的大小。
21.（本小题满分12分）
设为实数，函数。
求的极值；当在什么范围内取值时，曲线轴仅有一个交点。
22.（本小题满分14分）
四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且。求四边形的面积的最小值和最大值。
参***。一。 选择题：
1. c2. d3. b4. b5. d6. c
7. b8. a9. c10. a 11. c 12. c
二。 填空题：
三。 解答题：
17. 本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力。满分12分。
解法一： 为第二象限的角，，所以。
所以。为第一象限的角，，所以。
所以 解法二：为第二象限角，，所以。
为第一象限角，，所以。故。所以
18. 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4
i）记“甲队胜三局”为事件a，“甲队胜二局”为事件b，则。
所以，前三局比赛甲队领先的概率为。
ii）若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜，所以，所求事件的概率为。
19. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分12分。
1）证明：成等差数列。
即 又设等差数列的公差为d，则。
这样。从而
这时是首项，公比为的等比数列。
ii）解：
所以 20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分12分。
方法一：i）证明：连结ep
de在平面abcd内。
又ce＝ed，pd＝ad＝bc
为pb中点。
由三垂线定理得。
在中，又。pb、fa为平面pab内的相交直线。
平面pabii）解：不妨设bc＝1，则ad＝pd＝1
为等腰直角三角形，且pb＝2，f为其斜边中点，bf＝1，且。
与平面aef内两条相交直线ef、af都垂直。
平面aef连结be交ac于g，作gh//bp交ef于h，则平面aef
为ac与平面aef所成的角。
由可知。由可知。
与平面aef所成的角为。
方法二：以d为坐标原点，da的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。
1）证明：设e（a，0，0），其中，则c（2a，0，0），a（0，1，0），b（2a，1，0），p（0，0，1），f（a，，）
又平面pab，平面pab，
平面pab
ii）解：由，得。
可知。异面直线ac、pb所成的角为。
又，ef、af为平面aef内两条相交直线。
平面aef与平面aef所成的角为。
即ac与平面aef所成的角为 21. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分12分。
解：（i）若，则。
当x变化时，变化情况如下表：
所以f(x)的极大值是，极小值是。
（ii）函数。
由此可知x取足够大的正数时，有，x取足够小的负数时有，所以曲线与x轴至少有一个交点。
7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中**它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。 结合f(x)的单调性可知：
年7月，美国的“阿波罗11号”载人飞船成功地在月球上着陆。 当f(x)的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上；
当f(x)的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上。
所以当时，曲线与x轴仅有一个交点。
22. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分14分。
解：如图，由条件知mn和pq是椭圆的两条弦，相交于焦点f（0，1）且，直线pq、mn中至少有一条存在斜率，不妨设pq的斜率为k。又pq过点f（0，1），故pq方程为y＝kx＋1
将此式代入椭圆方程得。
10、日食：当月球运动到太阳和地球中间，如果三者正好处在一条直线上时，月球就会挡住太阳射向地球的光，在地球上处于影子中的人，只能看到太阳的一部分或全部看不到，于是就发生了日食。日食时，太阳被遮住的部分总是从西边开始的。
设p、q两点的坐标分别为，则。
20、对生活垃圾进行分类、分装，这是我们每个公民的义务。只要我们人人参与，养成良好的习惯，我们周围的环境一定会变得更加清洁和美丽。
从而。亦即。
i）当时，mn的斜率为，同上可推得。
故四边形面积。
令，得。因为。
当时， 且s是以u为自变量的增函数。
所以。ii）当k=0时，mn为椭圆长轴，
综合（i），（ii）知，四边形pmqn面积的最大值为2，最小值为。
2024年新课标文科高考数学全国卷
一 选择题 共12小题 共60分 1.已知集合，则 a.b.c.d.2.设复数满足，则 a.b.c.d.3.函数的部分图象如图所示，则。a.b.c.d.4.体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为。a.b.c.d.5.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，则 a.b.c.d.6.圆的圆心到直...
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