导数思路2--零点与方程根问题。
导数与方程的根（极值点、方程根、隐零点）的存在、个数、分布、关系（找点问题）
构造函数看图像。
零点存在依据：
函数的零点：函数的零点方程的实数根函数的图象与轴交点的横坐标．
函数零点存在性定理：若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且。
则函数在区间上有零点．
函数零点存在性定理（加强）：若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且函数在区间上单调，又，则函数在区间上有且只有唯一零点．
一、几个找点经典模型一：或。
例】讨论函数的零点个数。
1）时，无零点。
2）时，1个零点。
3）当时，2个零点。，其中。（放缩）
其中。（用到了）
4）当时，1个零点。
单调递增。 ，经典模型二：或。
例】讨论函数的零点个数。
1）时，1个零点。
单调递增。且，，所以在上有一个零点；
2）时，无零点。
恒成立；3）时，无零点。
4）时，2个零点。 ，
经典模型三：或。
例】讨论函数的零点个数。
1）时，1个零点。 单调递增。
2）时，1个零点（）.
3）时，无零点。
4）时，1个零点。
5）时，2个零点。，二、几种函数类型。
类型一周期函数零点个数问题。
例1 设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 ▲
解析：时，任取点，平移k个单位后至，若点也在上，则，因此，即，左整右分，不成立。因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点。
练习已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程有个根，则的取值范围是。
类型二复合函数的零点个数问题。
例若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根的个数是。
答案】3求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程中求，再带入方程中求的值．
类型三分段函数（或含绝对值函数）的零点个数问题。
典例3已知函数，若直线与交于三个不同的点，，（其中），则的取值范围是。
解析】作出函数，的图象如图：
设直线y=ax与y=lnx相切于（x0，lnx0），则，曲线y=lnx在切点处的切线方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），把原点（0，0）代入可得：﹣lnx0=﹣1，得x0=e．
要使直线y=ax与y=f（x）交于三个不同的点，则n∈（1，e），联立，解得x=．
m∈（,2，），的取值范围是（1，）．
故答案为：（1，）．
练习已知为常数，函数，若关于的方程有且只有4个不同解，则实数的取值集合为。
解析】画出函数的图象如图所示：
过点。当时，显然不满足题意，故。
在上与函数有一个交点。
在上与函数有三个交点，且由图所示在上与函数有一个交点。
设直线与的图象在相切的切点坐标为，则， ，
实数的取值范围是。
三、零点个数问题。
例1 已知。
1）讨论的单调性；
2）若有两个零点，求的取值范围。
解析：（1）
若，则恒成立，所以在r上递减；
若，令，得。
当时，，所以在上递减；
当时，，所以在上递增。
综上，当时，在r上递减；当时，在上递减，在上递增。
2）有两个零点，必须满足，即，且。
构造函数，. 易得，所以单调递减。
又因为，所以。
下面只要证明当时，有两个零点即可，为此我们先证明当时，.
事实上，构造函数，易得，∴，所以，即。
当时，其中，，所以在和上各有一个零点。
故的取值范围是。
例2 已知函数，.
1）求的单调区间，并证明：；
2）设，记，讨论函数的零点个数。
解：（1）由题意，
当时，，故的增区间为。
当时，，，故的增区间为，减区间为。
令，则：，故，
所以在上递减，在上递增，故，即，也即。
2）法1：当时，由于，故在上无零点。
当时， 若，即，则，不是的零点。
若，即，则，是的零点。
当时，由于，所以的零点个数与相同。
若，则在上恒成立，故在上单调递增。
结合知在上无零点。
若，则由（1）知在上递减，在上递增。
故，由（1）知，故，即。
又，，故当时，即时，在上无零点。
当时，即时，在上有一个零点。
综上所述，当时，无零点；当时，有一个零点。
法2：先数形结合发现时和在处恰有公切线，恒成立，故，容易论证的零点个数。进而找到讨论的分界点，直接对a进行讨论。下面给出解法。
解：令。当时，，令，则。
故在上递增。
结合知当时，，递减；当时，，递增。
又，所以恒成立，故，即恒成立，故此时。
若，由（1）知在上递增，结合知在上无零点，即无零点。
若，则由（1）知在上递减，在上递增。
故，由（1）知，故，即。
又，，故在上有一个零点，即有一个零点。
当时，，，故递增。
又，，故有唯一的零点。
且当时，，递减；当时，，递增。
又， 显然，故在上有一个零点。
另一方面，易证。
故。令，，则，故递增。
结合知，故，即在上有一个零点。
当时，，故，所以。
由于且，故此时，即，在上无零点。
当时，，即，故此时，有唯一的零点。
当时，，故，所以，故在上无零点。
综上所述，当时，无零点；当时，有一个零点。
取点过程用到了常用放缩技巧。
一方面：；另一方面：时，（目测的）
练习1.已知函数f(x)＝ex，x∈r.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；
2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点．
练习2.设函数 f(x)＝lnx＋，m ∈r.
1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；
解析：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，则f′(x)＝，当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞上单调递增，x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，∴f(x)的极小值为2.
2)由题设g(x)＝f′(x)－＝x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)．
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0,1)时，φ′x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞时，φ′x)＜0，φ(x)在(1，＋∞上单调递减．
x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，φ(x)的最大值为φ(1)＝.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知。
当m＞时，函数g(x)无零点；
当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．
练习3.已知函数f(x)＝(cosx－x)(π2x)－ sinx＋1)，g(x)＝3(x－π)cosx－4(1＋sinx)·ln
证明：(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；
2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.
所以存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.
因为当x∈时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.因x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.
练习4.已知是不同时为零的常数），其导函数为，（1）求证：函数在内至少存在一个零点；
（2）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围。
解：（1）证明：因为。
当时，符合题意；
当时，，令，则。
令，1）当时，，在内有零点；
2）当时，，在内有零点。
当时，在内至少有一个零点。
综上可知，函数在内至少有一个零点。
练习5.设函数当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
解： 因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，练习6.设函数，且为的极值点．
若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；
(ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．
解：，又，所以且，i）因为为的极大值点，所以。
当时，；当时，；当时，
所以的递增区间为，；递减区间为．
ii）①若，则在上递减，在上递增。
恰有两解，则，即，所以；
若，则，因为，则的极大值为，的极小值为， 从而只有一解；
若，则的极小值为。
的极大值为， 则只有一解。
综上，使恰有两解的的范围为．
练习7.已知函数， 函数，若方程在上恰有两解， 求实数的取值范围。
练习8.已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋lnx)＋a.
1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间上无零点，求a的最小值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，则，定义域x∈(0，＋∞
由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，故f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞2)f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x，令m(x)＝(2－a)(x－1)，x＞0；h(x)＝2ln x，x＞0，则f(x)＝m(x)－h(x)，当a＜2时，m(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数，若f(x)在上无零点，则，即(2－a) ≥2，∴a≥2－4ln 2，∴2－4ln 2≤a<2，当a≥2时，在上m(x)≥0，h(x)＜0，∴f(x)＞0，∴f(x)在上无零点．
由①②得a≥2－4ln2，∴amin＝2－4ln2.
四、隐零点。
例已知函数，若，且对任意恒成立，求的最大值。
当时，令，， 令，，故在上是增函数，由于， 存在，使得，则，知为减函数；，知为增函数．，，又所以。
练习。已知．记的导函数是。的图象与轴交于)两点， 中点为，求证：．
解：由已知得两式相减，得． 由及，得。
令． ，在上递减，∴．又，
五极值点问题(解方程：存在性（无解、有解）、个数、分布；超越方程不可解；已知方程的解)
导数与定积分》周末作业题 有答案
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