1．解：（i）由已知，切点为(2,0),故有，即。
又，由已知得……②
联立①②，解得。所以函数的解析式为
ii）因为令。
当函数有极值时，方程有实数解。则，得。
当时，有实数，在左右两侧均有，故无极值。
当时，有两个实数根情况如下表：
所以在时，函数有极值；
当时，有极大值；当时，有极小值；
2．解：（ⅰ则或，当x变化时，与的变化情况如下表：
从而可知，当时，函数取得极大值9，即。
ⅱ）由（ⅰ）知，依题意知， ∴或。
又，所以切线方程为，或，即，或。
3．解：（1）
当时，对，有所以的单调增区间为。
当时，由解得或，由解得，所以的单调增区间为，单调减区间为。
2）因为在处取得极大值，所以。
所以。由解得。
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值1，在处取得极小值-3.
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，所以的取值范围是。
4．解：（i）因为函数有三个极值点，所以有三个互异的实根。
设则。当时， 在上为增函数；
当时， 在上为减函数；
当时， 在上为增函数；
所以函数在时取极大值，在时取极小值。
当或时，最多只有两个不同实根。
因为有三个不同实根，所以且。
即，且，解得且。
故。（ii）由（i）的证明可知，当时，有三个极值点。
不妨设为（），则。
所以的单调递减区间是，.
若在区间上单调递减，则， 或，若，则。由（i）知，,于是。
若，则且。由（i）知，
又当时，；当时，.
因此，当时， 所以且。
即故或。反之， 当或时，总可找到使函数在区间上单调递减。
综上所述，的取值范围是。
高二数学导数练习题
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