导数汇编答案2015.4
1. （本小题满分13分）
解：（ⅰ函数的定义域为。
当时，.由解得；由解得。
所以在区间单调递减， 在区间单调递增。
所以时，函数取得最小值5分。
1）当时，时， ,为减函数；
时，，为增函数。
所以在时取得最小值。
ⅰ）当时，，由于，令，，则在上有一个零点；
ⅱ）当时，即时，有一个零点；
ⅲ）当时，即时，无零点。
ⅳ）当时，即时，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点。
2)当时，时， ,为增函数；
时，，为减函数；
时，，为增函数。
所以在处取极大值，在处取极小值。
当时，,即在时，.
而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点。
3)当时，在上恒成立，所以为增函数。
且（从右侧趋近0）时，；时，.
所以有一个零点。
综上所述，或时有一个零点；时，无零点；
2.（本小题满分13分）
解：函数定义域为，.
ⅰ）当时，，
所以。所以曲线在点处的切线方程是，即。
ⅱ） 当时， .
设，则。令得，或，注意到，所以。
令得，注意到，得。
所以函数在上是减函数，在上是增函数。
所以函数在时取得最小值，且。
所以在上恒大于零。
于是，当， 恒成立。
所以当时，函数在上为增函数。
ⅱ）问另一方法提示：当时， .
由于在上成立，即可证明函数在上为增函数。
设，.1) 当时，在上恒成立，即函数在上为增函数。
而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使，且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点；
2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；
3）当时， .
当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值。
综上所述13分。
4.（共14分）
解：（ⅰ因为是的一个极值点，所以，解得．
经检验，满足题意，所以。
（ⅱ）由（ⅰ）知，定义域为，令，得．又，所以的单调递减区间为。
设过点，的直线与曲线相切于点，所以，即．所以．
令，，由，得，，得．
所以在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．
因为，， 所以与轴有两个交点，即方程有两个实根．
所以过点，可作两条直线与曲线相切．
5.（本小题共13分）
解：（ⅰ当时，，，
所以。因为，即切线的斜率为，
所以切线方程为，即4分。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知．
令，则。当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以当时，函数最小值是．
命题得证8分。
ⅲ）因为，所以．
令，则． 当时，设，因为，所以在上单调递增，且，所以在恒成立，即．
所以当，，在上单调递减；
当，，在上单调递增．
所以在上的最大值等于，因为，不妨设()，所以．
由（ⅱ）知在恒成立，所以在上单调递增．
又因为，所以在恒成立，即．
所以当时，在上的最大值为． …13分。
6.（本小题共13分）
解：（ⅰ当时，所以，．
所以切线方程为。
ⅱ）因为在上单调递减，等价于在恒成立，
变形得恒成立，而。
当且仅当，即时，等号成立）． 所以。
令，得．所以=．
ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；
ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；
ⅲ）当时， 因为，所以在增区间内有唯一零点；，设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在减区间内有唯一的零点．
所以时在定义域内有两个零点．
综上所述：当时，在定义域内无零点；
当时，在定义域内有唯一的零点；
当时，在定义域内有两个零点．
8.（本小题共13分）
ⅰ）的定义域为1分。
当时2分。由，解得。当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以当时，函数取得极小值，极小值为4分。
ⅱ），其定义域为．
又6分。由可得，在上，在上，所以的递减区间为；递增区间为7分。
）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．即在上的最小值小于零． …8分。
当，即时，由（ii）可知在上单调递减．
故在上的最小值为，由，可得9分。
因为．所以10分。
当，即时，由（ii）可知在上单调递减，在上单调递增．
在上最小值为。
因为，所以．
即不满足题意，舍去． 综上所述： ．
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