2023年高三一模数学理科导数题解析。
1 a （延庆县18题）
已知函数。ⅰ) 讨论函数的单调性；
ⅱ）当时，求函数在区间的最小值。
解：函数的定义域为1分。
4分。1）当时，，所以在定义域为上单调递增； …5分。
2）当时，令，得（舍去），当变化时，，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，在区间上单调递增7分。
3）当时，令，得，（舍去），当变化时，，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，在区间上单调递增9分。
ⅱ）由(ⅰ)知当时，在区间单调递减，在区间上单调递增。 …10分。
1）当，即时，在区间单调递减，所以11分。
2）当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增，所以，……12分。
3）当，即时，在区间单调递增，所以13分。
分析此题主要考察导数的性质。较基础，难度不大。学生容易忽略定义域。
2 c （顺义一模18）
设函数。i)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；
ii)当时，若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；
iii)当时，求函数在区间上的最大值。
解：(i) .
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，且，即，且，解得3分。
ii)记，当时，令，得。
当变化时， 的变化情况如下表：
所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为6分。
故在区间内单调递增，在区间内单调递减，从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当。
解得，所以的取值范围是9分。
iii)记，当时，由(ii)可知，函数的单调递增区间为；单调递减区间为。
当时，即时， 在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为；
当且，即时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为；
当且，即时，t+3<2且h(2)=h(-1)，所以在区间上的最大值为；
当时， ,在区间上单调递减，在区间上单调递增，而最大值为与中的较大者。
由知，当时， ,所以在区间上的最大值为；……13分。
当时， 在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为14分。
分析：该题思路常规，但是讨论复杂。尤其第三个小问题的讨论较为复杂！但是只要对讨论的思路理解了，也能完成！学生容易讨论不完整！
3 c （石景山一模18） 已知函数f（x）=ax－1－1n x，ar．
（i）讨论函数f（x）的单调区间：
（ii）若函数f（x）在x=l处取得极值，对x∈（0，+）f（x）≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．
解：（）定义域为
() 当时，在定义域内恒成立。
所以在上恒减。
）当时，在定义域内恒小于0
所以在上恒减。
）当时，的情况如下表。
所以在为增函数，在为减函数。
综上：当时，在定义域上恒减。
当时，在为增函数，在为减函数。
）由（）可得，当时，在定义域上无极值，当时，在处取得极值，所以，解得
所以 , 即解得
令， 易得在上递减，在上递增。
所以； 即：
分析该题的第一问是比较常规的题型，但是第二题的难度就有点大，对成绩中等的学生来说很难想得到用分离系数来做。而且学生很容易忘了定义域！
4 b．（东城一模18）设。
1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
2）当时，在上的最小值为，求在该区。
间上的最大值。
解： （12分。
在上存在单调递增区间。
存在的子区间，使得时。
在上单调递减。
即解得。当时，在上存在单调递增区间6分。2）令即
则 ，，的情况如下。
在上单调递减，在上单调递增。
在上单调递增，在上单调递减8分。
所以的最大值为。
10分。解得13分
分析该题求导简单，学生很容易求出来，后面大部分用的是比较区间的方法。还是较易想到。但是在第二题的两根有点不是很常规，就是学生求出来后，都有可能不自信而不敢在做！
5 b.（丰台一模18） 已知函数，.
ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；
ⅱ)当，且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。
解：(ⅰ函数h(x)定义域为{x|x≠-a1分。
则3分。h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，即，解得或………6分。
(ⅱ)记(x)= 则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),ab=8，所以，(x≠-a),令，得，或8分。
因为，所以，故当，或时，，当时，函数(x)的单调递增区间为，单调递减区间是10分，1 当，即时， (x)在[-2,-1]单调递增，
在该区间的最小值为11分。
2 当时，即，
x)在[-2,单调递减， 在单调递增，在该区间的最小值为12分。
3 时，即时，
在[-2,-1]单调递减，
在该区间的最小值为13分。
综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为。
分析：该题还是一个常规的考题。只是在第二小问中讨论较复杂。学生容易出错，或讨论不完全！而且学生容易忘定义域。
6 c （西城一模）已知函数，，其中．
ⅰ）求的极值；
ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
解：（）的定义域为1分。
2分。当时，，故在上单调递减．
从而没有极大值，也没有极小值3分。
当时，令，得。
和的情况如下：
故的单调减区间为；单调增区间为．
从而的极小值为；没有极大值5分。
ⅱ）的定义域为，且6分。
当时，显然，从而在上单调递增．
由（ⅰ）得，此时在上单调递增，符合题意8分。
当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．
…9分。当时，令，得．
和的情况如下表：
当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意11分。
当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围是13分分析：此题第一问是常规题，但是第二问出题较新颖，不能灵活应用的学生是想不到的。而且学生在求导上还可能出错！
7 c （海淀一模）已知函数(其中为常数且)在处取得极值。
i) 当时，求的单调区间；
ii) 若在上的最大值为，求的值。
解：（i）因为所以………2分。
因为函数在处取得极值。
3分。当时，随的变化情况如下表：
………5分。
所以的单调递增区间为，单调递减区间为6分。
ii)由（i）可得
因为，令7分。
因为在处取得极值，所以。
当时，在上单调递增，在上单调递减。
所以在区间上的最大值为，令，解得………9分。
当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增。
所以最大值1可能在或处取得。
而。所以，解得11分。
当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增。
所以最大值1可能在或处取得。
而。所以，解得，与矛盾12分。
当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾
综上所述，或13分。
分析：题型常规，但是讨论复杂学生很容易讨论不完全，而且有一部分学生不知道如何讨论！
8 c （房山一模）已知函数， .
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）求函数的单调区间；
ⅲ）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得。
成立，求实数b的取值范围。
解：（ⅰ当时1分。
2分。所以曲线在点处的切线方程3分。
ⅱ）…4分。
1 当时，解，得，解，得。
所以函数的递增区间为，递减区间为在5分。
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