（8）已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直，为线段上的动点（不含端点），过作交于，作交于，连结．设，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是。
20）（本小题满分13分）
已知函数，．
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）当时，求证：在上为增函数；
ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．
20）（本小题满分13分）
解：函数定义域为，.
ⅰ）当时，，.
所以。所以曲线在点处的切线方程是，即3分。
ⅱ） 当时，.
设，则。令得，或，注意到，所以。
令得，注意到，得。
所以函数在上是减函数，在上是增函数。
所以函数在时取得最小值，且。
所以在上恒大于零。
于是，当，恒成立。
所以当时，函数在上为增函数7分。
ⅱ）问另一方法提示：当时，.
由于在上成立，即可证明函数在上为增函数。
设，.1) 当时，在上恒成立，即函数在上为增函数。
而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使，且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点；
2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；
3）当时，.
当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值。
综上所述13分。
18）（本小题共14分）
已知是函数的一个极值点．
ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）求的单调递减区间；
（ⅲ）设函数，试问过点，可作多少条直线与曲线相切？请说明理由．
18）（共14分）
解：（ⅰ因为是的一个极值点，所以，解得．
经检验，满足题意，所以5分。
（ⅱ）由（ⅰ）知，定义域为，令，得．又，所以的单调递减区间为9分。
设过点，的直线与曲线相切于点，所以，即．所以．
令，，由，得，，得．
所以在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．
因为，所以与轴有两个交点，即方程有两个实根．
所以过点，可作两条直线与曲线相切14分。
18）（本小题共13分）
已知函数，.
ⅰ）若在处取得极值，求的值；
ⅱ）若在区间上单调递增， 求的取值范围；
ⅲ）讨论函数的零点个数。
18）（共13分）
解：（ⅰ因为，由已知在处取得极值，所以。
解得，经检验时，在处取得极小值。
所以3分。（ⅱ）由（ⅰ）知，，.
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立。
即在区间上恒成立。
所以8分。（ⅱ）因为，所以，.
令得，令，.
当时，，在上单调递增，时，，在上单调递减。
所以。综上：当时，函数无零点，当或时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点13分。
19.（本小题共13分）
已知函数，是常数，r．
ⅰ）求曲线在点处的切线的方程；
ⅱ）求函数的单调区间；
iii）证明：函数的图象在直线的下方．
19.（本小题共13分）
解2分，所以切线的方程为。
即4分。ⅱ）定义域为。
1）当时，，在为增函数。
2）当时，令得，或。
当时，在为增函数。
当时，在上是增数，在是减函数9分。
ⅲ）令则。所以且，即函数的图像在直线的下方13分。
18．（本小题满分13分）
已知函数，．
ⅰ） 当时，求函数的最小值；
ⅱ） 当时，讨论函数的零点个数。
18. （本小题满分13分）
解：（ⅰ函数的定义域为。
当时，.由解得；由解得。
所以在区间单调递减， 在区间单调递增。
所以时，函数取得最小值5分。
1）当时，时，为减函数；
时，，为增函数。
所以在时取得最小值。
ⅰ）当时，，由于，令，，则在上有一个零点；
ⅱ）当时，即时，有一个零点；
ⅲ）当时，即时，无零点。
ⅳ）当时，即时，由于（从右侧趋近0）时，；时，所以有两个零点。
2)当时，时，为增函数；
时，，为减函数；
时，，为增函数。
所以在处取极大值，在处取极小值。
当时，,即在时，.
而在时为增函数，且时，所以此时有一个零点。
3)当时，在上恒成立，所以为增函数。
且（从右侧趋近0）时，；时，.
所以有一个零点。
综上所述，或时有一个零点；时，无零点；
有两个零点。
………13分。
18．（本小题共13分）
已知，其中．
ⅰ)若函数在点处切线斜率为，求的值；
ⅱ)求的单调区间；
ⅲ)若在上的最大值是，求的取值范围．
18．（本小题共13分）
解：(ⅰ由题意得f ′(x)＝，x∈(－1，＋∞由f ′(3)＝0a3分。
ⅱ)令f ′(x)＝0x1＝0，x2＝－1，当0f(x)与f ′(x)的变化情况如下表。
f(x)的单调递增区间是(0，－1)，f(x)的单调递减区间是(－1,0)和(－1，＋∞
当a＝1时，f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞
当a>1时，－1f(x)与f ′(x)的变化情况如下表。
f(x)的单调递增区间是(－1,0)，f(x)的单调递减区间是(－1，－1)和(0，＋∞
综上，当0f(x)的单调递减区间是(－1,0)，(1，＋∞当a>1，f(x)的单调递增区间是(－1,0)．
f(x)的单调递减区间是(－1，－1)，(0，＋∞
当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(－19分。
ⅲ)由(ⅱ)可知。
当0但f(－1)>f(0)＝0，所以0当a≥1时，f(x)在(0，＋∞上单调递减，由f(x)≤f(0)可得f(x)在[0，＋∞上的最大值为f(0)＝0，符合题意，18.（本小题共13分）
设函数，．ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求证： ；
ⅲ）当时，求函数在上的最大值．
18.（本小题共13分）
解：（ⅰ当时，，，
所以。因为，即切线的斜率为，
所以切线方程为，即4分。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知．
令，则。当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以当时，函数最小值是．
命题得证8分。
ⅲ）因为，所以．
令，则． 当时，设，因为，所以在上单调递增，且，所以在恒成立，即．
所以当，，在上单调递减；
当，，在上单调递增．
所以在上的最大值等于，因为，不妨设()，所以．
由（ⅱ）知在恒成立，所以在上单调递增．
又因为，所以在恒成立，即．
所以当时，在上的最大值为13分。
20.（本小题共13分）
已知函数。ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）如果函数在上单调递减，求的取值范围；
ⅲ）当时，讨论函数零点的个数．
解：（ⅰ当时，所以，．
所以切线方程为3分。
ⅱ）因为在上单调递减，等价于在恒成立，
变形得恒成立，而。
当且仅当，即时，等号成立）． 所以8分。
令，得．所以=．
ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；
ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；
ⅲ）当时， 因为，所以在增区间内有唯一零点；
，设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在减区间内有唯一的零点．
所以时在定义域内有两个零点．
综上所述：当时，在定义域内无零点；
2019一模二模导数椭圆题
已知函数，其中 当时，求曲线在原点处的切线方程 求的单调区间 若在上存在最大值和最小值，求的取值范围 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点 若，求直线的斜率 设点 段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值 已知抛物线 为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，当的坐...
2023年一模导数答案
导数汇编答案2015.4 1.本小题满分13分 解 函数的定义域为。当时，由解得 由解得。所以在区间单调递减，在区间单调递增。所以时，函数取得最小值5分。1 当时，时，为减函数 时，为增函数。所以在时取得最小值。当时，由于，令，则在上有一个零点 当时，即时，有一个零点 当时，即时，无零点。当时，即时...
2019北京各城区一模导数
2018一模导数 文理 朝阳理。18 已知函数 当时，求曲线在点处的切线方程 求函数的单调区间 若，求证 18 本小题满分13分 当时，可得，又，所以在点 处的切线方程为。在区间 上，且，则。在区间 上，且，则。所以的单调递增区间为 单调递减区间为 由，等价于，等价于。设，只须证成立。因为，由，得有...