2011北京各区数学一模试题分类汇编——导数。
1. （朝阳理18）
已知函数。ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；
ⅲ）记。当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围。
解： (直线的斜率为1.
函数的定义域为，因为，所以，所以。
所以。由解得；由解得。
所以的单调增区间是，单调减区间是4分。
)，由解得；由解得。
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减。
所以当时，函数取得最小值，.
因为对于都有成立，所以即可。
则。 由解得。
所以的取值范围是8分。
)依题得，则。
由解得；由解得。
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数。
又因为函数在区间上有两个零点，所以。
解得。所以的取值范围是13分。
2. （朝阳文18）
已知函数，.
ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
ⅱ）求函数在区间上的最小值。
解： （直线的斜率为1.
函数的导数为，则，所以5分。
当时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为。
当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为。
当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减；在区间上，此时在区间上单调递增；则在区间上的最小值为。
当，即时，在区间上，此时在区间上为单调递减，则在区间上的最小值为。
综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为13分。
3. （丰台理18）
已知函数，为函数的导函数．
ⅰ）设函数f(x)的图象与x轴交点为a，曲线y=f(x)在a点处的切线方程是，求的值；
ⅱ）若函数，求函数的单调区间．
解。在处切线方程为。5分。
……7分。当时。
的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，令，得或
ⅰ）当，即时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
ⅱ）当，即时， ，故在单调递减。
ⅲ）当，即时，在上单调递增，在，上单调递13分。
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．
4. （丰台文19）
已知函数在上是增函数，在上是减函数．
ⅰ）求b的值；
ⅱ）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围．
解：（ⅰ在上是增函数，在上是减函数， 当时，有极大值，即，
6分。ⅱ），在上是增函数，在上是减函数，，即。
曲线在直线的上方，设。
在时，恒成立．，令，两个根为，，且。
当时，有最小值。
令， ，由14分。
5. （门头沟理18）
已知函数．ⅰ）求函数在点处的切线方程；
ⅱ）求函数的单调区间和极值．
解：（ⅰ2分。
所以函数在点处的切线方程为 ……4分。
ⅱ）函数的定义域为。
令，得。解得5分。
当时，列表：
可知的单调减区间是，增区间是(-1,0)和；
极大值为，极小值为 ……8分。
当时，列表：
可知的单调减区间是，增区间是和；
极大值为，极小值为11分。
当时， 可知函数在上单增， 无极值13分。
6. （门头沟文17）
已知曲线满足下列条件：
过原点；在处导数为－1；在处切线方程为(ⅰ)求实数的值； （求函数的极值。
解 (ⅰ根据条件有。
解得6分。ⅱ）由7分。
令得9分。的关系如表所示
因此函数在处取得极大值1，在处取得极小值。。。13分。
7. （石景山理18）
已知函数。（ⅰ）当在区间上的最大值和最小值；
（ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．
8. （石景山文18）
已知函数。（ⅰ）若的解析式；
（ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围．
9. （延庆理18）
已知函数。
ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
ⅱ）若且，求函数的单调区间。
2分。3分。
切线方程为，即5分。
ⅱ）…7分。
令，解得，或8分。
令，解得， 令，解得………10分。
1）当时，，此时。
在区间上增，在区间上减，在区间上增，11分。
2）当时，，此时在区间上增， …12分。
3）当时，，此时。
在区间上增，在区间上减，在区间上增，13分。
4）当时，，此时。
在区间上减，在区间上增14分。
10. （延庆文18）
已知函数。ⅰ）若，求函数的单调区间；
ⅱ）若有极大值，求实数的值。
ⅰ），2分。
1）时，令，得，或，令，得3分。
在区间上增，在区间上减，在区间上增，5分。
2）时，令，得。
令，得，或6分。
在区间上减，在区间上增，在区间上减，8分。
ⅱ）（1）时，，此时无极值9分。
2）时，的极大值为。
令，得11分。
3）时，的极大值为。
令，得13分。
综上： 或14分。
11. （海淀理18）
已知函数，
ⅰ）若，求函数的极值；
ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围。
解：（ⅰ的定义域为1分。
当时2分。………3分。
所以在处取得极小值14分。
ⅱ），6分。
当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增7分。
当，即时，在上，所以，函数在上单调递增8分。
）在上存在一点，使得成立，即。
在上存在一点，使得，即。
函数在上的最小值小于零9分。
由（ⅱ）可知。
即，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，因为，所以10分。
当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得11分。
当，即时， 可得最小值为，
因为，所以，
故 此时，不成立12分。
综上讨论可得所求的范围是：或13分。
12. （海淀文18）
已知函数。ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；
ii) 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。
解：（i）因为2分。
当。令，得3分。
又的定义域为，随的变化情况如下表：
所以时，的极小值为15分。
的单调递增区间为，单调递减区间为6分。
ii）解法一：
因为，且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可7分。
（1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，
由，得，即9分。
（2）当，即时，若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立11分。
若，即时，则有。
所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即13分。
综上，由(1)（2）可知：符合题意14分。
解法二：若在区间上存在一点，使得成立， 即，因为， 所以，只需7分。
令，只要在区间上的最小值小于0即可。
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