（18）（本小题满分13分）
已知函数。
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明。
18）（共13分）
解2分。ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是。
………3分。
（ⅱ）当时，令，得。
当变化时，,的变化情况如下表。
所以的单调递减区间是，单调递增区间是。 …5分。
ⅱ）由（ⅰ）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意6分。
当时，因为在内是减函数，在内是增函数，所以要使，必须，即。
所以7分。当时，.
令，则。当时，，所以，在上是增函数。
所以当时，.
所以9分。因为，所以在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为。 …11分。
因为在内是减函数，在内是增函数，所以。
综上所述，的取值范围是12分。
因为，所以13分。
20）（本小题满分14分）
已知函数。
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；
ⅲ）若，求实数的取值范围。
20）（共14分）
解1分。当时，，则函数的单调递减区间是2分。
当时，令，得。
当变化时，，的变化情况如下：
所以的单调递减区间是，单调递增区间是。 …4分。
ⅱ）因为存在两条直线，都是曲线的切线，所以至少有两个不等的正实根5分。
令得，记其两个实根分别为。
则解得7分。
当时，曲线在点处的切线分别为，.
令。由得（不妨设），且当时，，即在上是单调函数。
所以。所以，是曲线的两条不同的切线。
所以实数的取值范围为9分。
ⅲ）当时，函数是内的减函数。
因为，而，不符合题意11分。
当时，由（ⅰ）知：的最小值是。
ⅰ）若，即时，所以，符合题意。
ⅱ）若，即时，.
所以，符合题意。
ⅲ）若，即时，有。因为，函数在内是增函数，所以当时，.又因为函数的定义域为，所以。所以符合题意。
综上所述，实数的取值范围为14分。
18．（本小题满分13分）
设，函数，函数，.
ⅰ）当时，写出函数零点个数，并说明理由；
ⅱ）若曲线与曲线分别位于直线的两侧，求的所有可能取值。
18.（本小题满分13分）
ⅰ）证明：结论：函数不存在零点1分。
当时，，求导得2分。
令，解得3分。
当变化时，与的变化如下表所示：
所以函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数有最大值4分。
所以函数的最大值为，所以函数不存在零点5分。
ⅱ）解：由函数求导，得。
令，解得。当变化时，与的变化如下表所示：
………7分。
所以函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数有最大值8分。
由函数，求导，得9分。
令，解得。当变化时，与的变化如下表所示：
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数有最小值11分。
因为，函数有最大值，
所以曲线在直线的下方，而曲线在直线的上方，所以12分。
解得。所以的取值集合为13分。
20．（本小题满分13分）
设，函数，函数，.
ⅰ）判断函数在区间上是否为单调函数，并说明理由；
ⅱ）若当时，对任意的， 都有成立，求实数的取值范围；
ⅲ）当时，若存在直线（），使得曲线与曲线分别位于直线的两侧，写出的所有可能取值。 (只需写出结论)
20．（本小题满分13分）
ⅰ）解：结论：函数在区间上不是单调函数1分。
求导，得2分。
令，解得。
当变化时，与的变化如下表所示：
所以函数在区间上为单调递增，区间上为单调递减。
所以函数在区间上不是单调函数4分。
ⅱ）解：当时，函数，，.
由题意，若对任意的， 都有恒成立，只需当时5分。
因为。令，解得。
当变化时，与的变化如下表所示：
所以7分。又因为。
令，解得。当变化时，与的变化如下表所示：
所以9分。综上所述，得10分。
ⅲ）解：满足条件的的取值集合为13分。
18）（本小题共13分）
已知函数，.
ⅰ）若在处取得极值，求的值；
ⅱ）若在区间上单调递增， 求的取值范围；
ⅲ）讨论函数的零点个数。
18）（共13分）
解：（ⅰ因为，由已知在处取得极值，所以。
解得，经检验时，在处取得极小值。
所以3分。（ⅱ）由（ⅰ）知，，.
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立。
即在区间上恒成立。
所以8分。（ⅱ）因为，所以，.
令得，令，.
当时，，在上单调递增，时，，在上单调递减。
所以。综上：当时，函数无零点，当或时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点13分。
18）（本小题共14分）
已知是函数的一个极值点．
ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）求的单调递减区间；
（ⅲ）设函数，试问过点，可作多少条直线与曲线相切？请说明理由．
18）（共14分）
解：（ⅰ因为是的一个极值点，所以，解得．
经检验，满足题意，所以5分。
（ⅱ）由（ⅰ）知，定义域为，令，得．又，所以的单调递减区间为9分。
设过点，的直线与曲线相切于点，所以，即．所以．
令，，由，得，，得．
所以在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．
因为，， 所以与轴有两个交点，即方程有两个实根．
所以过点，可作两条直线与曲线相切14分。
18.（本小题共13分）
设函数，．ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求证：；
ⅲ）当时，求函数在上的最大值．
18.（本小题共13分）
解：（ⅰ当时，，，
所以。因为，即切线的斜率为，
所以切线方程为，即4分。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知．
令，则。
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