2015北京文科一模分类汇编 06 导数。
1．（2015海淀一模文20）已知函数。
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；
ⅲ）若，求实数的取值范围。
2.（2015房山一模文19）已知函数，是常数， r．
ⅰ）求曲线在点处的切线的方程；
ⅱ）求函数的单调区间；
iii）证明：函数的图象在直线的下方。
3. 2015顺义一模文20.(本小题满分13分)
已知函数。i)当时，求函数的单调区间；
ii)设，且函数在点处的切线为，直线，且在轴上的截距为1,求证：无论取任何实数，函数的图像恒在直线的下方；
iii)已知点，且当时，直线的斜率恒小于2,求实数的取值范围。
4．2015石景山一模20．已知函数。
ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
ⅱ）若，且关于x的方程在上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；
ⅲ）设各项为正数的数列满足，求证：.
5. 2015丰台一模20.（本小题共13分）
已知函数。ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）如果函数在上单调递减，求的取值范围；
ⅲ）当时，讨论函数零点的个数．
6. （2015东城一模文18）（本小题共14分）
已知是函数的一个极值点．
ⅰ）求实数的值；
ⅱ）求的单调递减区间；
ⅲ）设函数，试问过点，可作多少条直线与曲线相切？请说明理由。
7. （2015朝阳一模文20）（本小题满分13分）
已知函数，．
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）当时，求证：在上为增函数；
ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．
8. (2015西城一模)120．（本小题满分13分）
设，函数，函数，.
ⅰ）判断函数在区间上是否为单调函数，并说明理由；
ⅱ）若当时，对任意的， 都有成立，求实数的取值范围；
ⅲ）当时，若存在直线（），使得曲线与曲线分别位于直线的两侧，写出的所有可能取值。 (只需写出结论)
2015北京文科一模分类汇编 06 导数答案。
1. 解1分。
当时，，则函数的单调递减区间是2分。
当时，令，得。
当变化时，，的变化情况如下：
所以的单调递减区间是，单调递增区间是。 …4分。
ⅱ）因为存在两条直线，都是曲线的切线，所以至少有两个不等的正实根5分。
令得，记其两个实根分别为。
则解得7分。
当时，曲线在点处的切线分别为，.
令。由得（不妨设），且当时，，即在上是单调函数。
所以。所以，是曲线的两条不同的切线。
所以实数的取值范围为9分。
ⅲ）当时，函数是内的减函数。
因为，而，不符合题意11分。
当时，由（ⅰ）知：的最小值是。
ⅰ）若，即时，所以，符合题意。
ⅱ）若，即时，.
所以，符合题意。
ⅲ）若，即时，有。
因为，函数在内是增函数，所以当时，.
又因为函数的定义域为，所以。
所以符合题意。
综上所述，实数的取值范围为14分。
2. （本小题共13分）
解2分，所以切线的方程为。
即4分。ⅱ）定义域为。
1）当时，，在为增函数。
2）当时，令得，或。
当时，在为增函数。
当时，在上是增数，在是减函数9分。
ⅲ）令则。所以且，即函数的图像在直线的下方13分。
3. (i)解2 分。
所以， 时， 与的变化情况如下：
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为4分。
ii)证明： ,所以，所以的斜率。
因为，且在轴上的截距为1,所以直线的方程为6分。
令，则无论取任何实数，函数的图像恒在直线的下方，等价于7分。
而。当时， ,当时， ,所以函数的上单调递增，在上单调递减，从而当时， 取得极大值，即在上， 取得最大值8分。
所以，因此，无论取任何实数，函数的图像恒在直线的下方9分。
iii)因为，所以，所以当时， ,即恒成立10分。
令，则，因为，所以。
i)当时， ,此时，所以在上单调递增，有不满足题意；
ii)当时， ,所以当时， ,当时， ,所以至少存在，使得不满足题意；
iii)当时， ,此时，所以在上单调递减， ,满足题意。
综上可得，故所求实数的取值范围是13分。
4. （函数的定义域为，， 2分。
依题意在时恒成立，则在时恒成立，当时，取最小值4分。
ⅱ）已知条件等价于方程在上有两个不同的实根，设，时，，时，
6分。由，得。
则8分。ⅲ）先证：当时，.
令，可证时单调递增，时单调递减，时。所以时9分。
用以上结论，由可得。
故 ……10分。
所以当时， ，
相乘得12分。
又故，即13分。
5. 解：（ⅰ当时，所以，．
所以切线方程为3分。
ⅱ）因为在上单调递减，等价于在恒成立，
变形得恒成立，而。
当且仅当，即时，等号成立）．
所以8分。ⅲ）．令，得．
所以=． ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；
ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；
ⅲ）当时， 因为，所以在增区间内有唯一零点；，设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在减区间内有唯一的零点．
所以时在定义域内有两个零点．
综上所述：当时，在定义域内无零点；
当时，在定义域内有唯一的零点；
当时，在定义域内有两个零点13分。
6. 解：（ⅰ
因为是的一个极值点，所以，解得．
经检验，满足题意，所以5分。
（ⅱ）由（ⅰ）知，定义域为，令，得．又，所以的单调递减区间为9分。
设过点，的直线与曲线相切于点，所以，即．所以．
令，，由，得，，得．
所以在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．
因为，， 所以与轴有两个交点，即方程有两个实根．
所以过点，可作两条直线与曲线相切14分。
7. （20）（本小题满分13分）
解：函数定义域为，.
ⅰ）当时，，
所以。所以曲线在点处的切线方程是，即3分。
ⅱ） 当时， .
设，则。令得，或，注意到，所以。
令得，注意到，得。
所以函数在上是减函数，在上是增函数。
所以函数在时取得最小值，且。
所以在上恒大于零。
于是，当， 恒成立。
所以当时，函数在上为增函数7分。
ⅱ）问另一方法提示：当时， .
由于在上成立，即可证明函数在上为增函数。
设，.1) 当时，在上恒成立，即函数在上为增函数。
而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使，且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点；
2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；
3）当时， .
当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值。
综上所述13分。
8. （解：结论：函数在区间上不是单调函数1分。
求导，得2分。
令，解得。
当变化时，与的变化如下表所示：
所以函数在区间上为单调递增，区间上为单调递减。
所以函数在区间上不是单调函数4分。
ⅱ）解：当时，函数，，.
由题意，若对任意的， 都有恒成立，只需当时5分。
因为。令，解得。
当变化时，与的变化如下表所示：
所以7分。又因为。
令，解得。当变化时，与的变化如下表所示：
所以9分。综上所述，得10分。
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