一。选择题：
1．（2023年房山一模7文）已知数列的前项和为，，，则（ ）
a． b． cd．
答案：b2．（2023年顺义一模7文）.已知无穷数列是等差数列，公差为，前项和为，则。
a.当首项时，数列是递减数列且有最大值。
b.当首项时，数列是递减数列且有最小值。
c.当首项时，数列是递增数列且有最大值。
d.当首项时，数列是递减数列且有最大值。
答案：a3．（2023年东城一模8文）某学校餐厅每天**500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，若，则与的关系可以表示为。
ab）cd）
答案：a二．填空题：
1．（2023年海淀一模11文）已知为等差数列，为其前项和。若，，则公差___的最小值为 . 答案：12；-54
2．（2015东城一模12文）已知函数的对应关系如下表所示，数列满足，,则。
答案： 三．解答题：
1．（2023年海淀一模15文）已知数列的前项和为，，且是与的等差中项。
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）若数列的前项和为，且对，恒成立，求实数的最小值。
解：（ⅰ因为，
所以1分。因为是与的等差中项，
所以， 即。
所以3分。所以是以1为首项，2为公比的等比数列。
所以6分。ⅱ）由（ⅰ）可得：.
所以。所以是以1为首项，为公比的等比数列9分。
所以数列的前项和11分。
因为，所以。
若，当时，.
所以若对，恒成立，则。
所以实数的最小值为213分。
2．（2015西城一模16文）已知等差数列的前项和为，且满足，．
ⅰ）求数列的通项公式及；
ⅱ）若（）成等比数列，求的最小值．
ⅰ）解：设公差为，由题意，得4分。
解得5分。所以6分。
7分。ⅱ）解：因为成等比数列，所以9分。
即10分。化简，得11分。
考察函数，知在上单调递增，又因为，所以当时，有最小值613分。
3．（2015东城一模20文）已知等差数列中，，，数列前项和为，且。
ⅰ）求数列和的通项公式；
ⅱ）设数列求的前项和；
ⅲ）把数列和的公共项从小到大排成新数列，试写出，，并证明为等比数列．
解：（ⅰ设数列的公差为，则由，得，解得。
所以，.因为。
所以。-①得，即。
由①得，则。
所以是首项为，公比为的等比数列，所以5分。
ⅱ）因为。所以数列的奇数项组成首项为，公差为的等差数列；
数列的偶数项组成首项为，公比为的等比数列。
1 为偶数时，2 为奇数且时，
经检验，当时上式也成立。
综上所述9分。
ⅲ）由，，可得，.
假设，则。所以，不是数列中的项；
是数列中的第项。
所以，从而。
所以是首项为，公比为的等比数列13分。
4．（2015朝阳一模18文）设数列的前项和为，且，，.
ⅰ）写出，，的值；
ⅱ）求数列的通项公式；
ⅲ）已知等差数列中，有，，求数列的前项和．
ⅰ）解：因为，所以，3分。
ⅱ）当时，．
又当时，．所以6分。
ⅲ）依题意，，.
则由得，，,则。
所以。所以。
因为=所以。
所以。所以13分。
5．（2015 年丰台一模16文）已知等差数列和等比数列中，，，
ⅰ）求数列和的通项公式；
ⅱ）如果，写出m，n的关系式，并求．
解：（ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则。
2分。解得或 （舍4分。
所以6分。ⅱ）因为，所以，即8分。
13分。所以．
6．（2023年石景山一模15文）设数列的前项和为，点均在函数的图象上．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）若为等比数列，且，求数列的前n项和。
ⅰ）依题意得，即．
当n=1时，a1=s1=11分。
当n≥2时3分。
当n=1时，a1= =1
所以4分。ⅱ) 得到，又，8分。
13分。7．（2015顺义一模15文）设数列满足：.
i)求的通项公式及前项和；
ii)已知是等比数列，且。求数列的前项和。
解：(i)因为，所以，所以数列是以为首项，公差的等差数列，所以，4分。
6分。ii)由(i)可知，所以，所以9分。
设等比数列的公比为，则，所以11分。
所以数列的前项和12分。
8．（2023年房山一模15文）已知数列中，点在直线上，且首项是方程的整数解。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）数列的前项和为，等比数列中，，，数列的前项和为，当时，请直接写出的值。
解：（）根据已知，即2分。
所以数列是一个等差数列4分。
）数列的前项和6分。
等比数列中，，，所以， …9分。
数列的前项和11分。
即，又，所以或213分。
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