2018一模导数（文理）
朝阳理。18．已知函数．
ⅰ）当时，（ⅰ求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）求函数的单调区间；
ⅱ）若，求证：．
18． (本小题满分13分)
ⅰ）当时，..
（ⅰ）可得，又，所以在点（）处的切线方程为。
ⅱ）在区间（）上，且，则。
在区间（）上，且，则。
所以的单调递增区间为（），单调递减区间为（）.
ⅱ）由，，等价于，等价于。
设，只须证成立。
因为，由，得有异号两根。
令其正根为，则。
在上，在上。
则的最小值为。
又，所以。则。
因此，即。所以，所以。
朝阳文。20.（本小题满分13分）
已知函数。ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）若，求函数的单调区间；
ⅲ）若，求证：.
20. （本小题满分13分）
解：（ⅰ若，则，所以在点处的切线方程为．
令，则．令，得．（依题意）
由，得；由，得．
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增。
所以，．因为，所以，．
所以，即．所以函数的单调递增区间为．
ⅲ）由，，等价于，等价于。
设，只须证成立。
因为，由，得有异号两根。
令其正根为，则。
在上，在上。
则的最小值为。
又，所以。则。
因此，即。所以
所以。石景山理。
19．已知，曲线在处的切线方程为。
ⅰ）求的值；
ⅱ）求在上的最大值；
ⅲ）当时，判断与交点的个数。（只需写出结论，不要求证明）19．解：（ⅰ由已知可得，
解之得。ⅱ）令． 则。
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以，故在单调递增，所以．
ⅲ）当时，与有两个交点。
石景山文。20．（本小题共14分）
设函数，．ⅰ）当时，求函数的极小值；（ⅱ讨论函数零点的个数；
ⅲ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．20.（本小题14分）
解：（ⅰ因为，所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以当时，取得极小值．
ⅱ），令，得．
设，则．所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以的最大值为，又，可知：
当时，函数没有零点；当或时，函数有且仅有1个零点；③当时，函数有2个零。
ⅲ）原命题等价于恒成立．.
设，则等价于在上单调递减．
即在上恒成立，所以恒成立，所以．即的取值范围是。
东城理。19）已知函数。
）若曲线在处的切线斜率为0，求的值；
）若恒成立，求的取值范围；
）证明：当时，曲线总在曲线的上方。
19）解：（）函数的定义域为。
因为，所以。 由得。
当时，令得。
时，；时，.
在上单调递减，在上单调递增。
所以当时，有最小值。
恒成立”等价于“最小值大于等于0”，即。
因为，所以。
当时，符合题意；
当时，取，则，不符合题意。
综上，若对恒成立，则的取值范围为。
）当时，令，可求。
因为，，且在上单调递增，所以在（0，）上存在唯一的，使得，即，且。
当变化时，与在（0，）上的情况如下：
则当时，存在最小值，且。
因为，所以。u
所以当时，
所以当时，曲线总在曲线的上方14分。
东城文。20）已知函数，.
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）当时，求在区间上的最大值和最小值；
ⅲ）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围。
20）解：（ⅰ当时，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为。
ⅱ）当时，，所以．
当时，，，所以。
所以在区间上单调递增．
因此在区间上的最大值为，最小值为。
ⅲ）当时，.
设，因为，,所以。
所以在区间上单调递减．
因为，所以存在唯一的，使，即。
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为，，又因为方程在区间上有唯一解，所以。
海淀理。18. 已知函数。
ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；
ⅱ）当时，若函数的最大值为，求的值。
18.（ⅰ当时，令，得， 故的单调递增区间为。
ⅱ）方法1：
令， 则 由，
故存在， 故当时，；当时，
故 故，解得。
故的值为。ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，
等价于的最大值为。
令，得。故的最大值为，即。 13分。
海淀文。20．已知函数。
ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
ⅱ）当时，判断在上的单调性，并说明理由；
ⅲ）当时，求证：，都有。
20．解：（ⅰ当时， 得又。
所以曲线在处的切线方程为
ⅱ）方法1：
因为，所以。
因为，所以。 所以。
所以当时，， 所以在区间单调递增。 …8分。
方法2：因为，所以。
令，则， 随x的变化情况如下表：
当时，.所以时，，即，所以在区间单调递增。
ⅲ）方法1：
由（ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，所以时，. 当时，设，则，随x的变化情况如下表：
所以在上单调递增，在上单调递减
因为，， 所以存在唯一的实数，使得，
且当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减。
又，所以当时，对于任意的，.
综上所述，当时，对任意的，均有。 …13分。
方法2：由（ⅱ）可知，当时，在区间单调递增，所以时。
当时， 由（ⅱ）知，在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以存在唯一的实数，使得，
且当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减。
又，所以当时，对于任意的，.
综上所述，当时，对任意的，均有13分。
西城理。18．已知函数，其中．
ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
ⅱ）当时，证明：存在极小值．
18．（本小题满分13分）
解：（ⅰ的导函数为
依题意，有。
解得。ⅱ）由及知，与同号．令。则。
所以对任意，有，故在单调递增．
因为，所以，故存在，使得。
与在区间上的情况如下：
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以存在极小值。
西城文。20．已知函数，其中．
ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
ⅱ）记的导函数为．当时，证明：存在极小值点，且．20．解。依题意，有，解得．
（ⅱ）由（ⅰ）得，所以．
因为，所以与同号．
设，则．所以对任意，有，故在单调递增．
因为，所以，故存在，使得．与在区间上的情况如下：
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以若，存在，使得是的极小值点．
令，得，所以。
丰台理。18）已知函数．
ⅰ）求函数在点处的切线方程；
ⅱ）若函数在上有极值，求的取值范围．
18）（本小题共13分）
解：函数的定义域为。
ⅰ）因为。所以曲线在点处的切线方程为，即。
ⅰ）当时，对于任意，都有。
所以函数在上为增函数，没有极值，不合题意。
ⅱ）当时，令，则．
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以函数在上有极值，等价于
所以所以．所以的取值范围是。
丰台文。20）已知函数．
ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
ⅱ）若函数在定义域内不单调，求的取值范围．20）（本小题共13分）
解：函数的定义域为。
导函数。ⅰ）当时，因为，，
所以曲线在处的切线方程为．
（ⅱ）设函数在定义域内不单调时，的取值范围是集合；
函数在定义域内单调时，的取值范围是集合，则．所以函数在定义域内单调，等价于恒成立，或恒成立，即恒成立，或恒成立，等价于恒成立或恒成立。
令，则。
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