昌平。24．已知， 点p是∠mon的平分线上的一动点，射线pa交射线om于点a，将射线pa绕点p逆时针旋转交射线on于点b，且使∠apb+
mon=180°.
1）利用图1，求证：pa=pb；
2）如图2，若点是与的交点，当。
时，求pb与pc的比值；
3）若∠mon=60°，ob=2，射线ap
交on于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长。
丰台。25.已知：在△abc中，bc=a，ac=b，以ab为边作等边三角形abd. **下列问题：
1）如图1，当点d与点c位于直线ab的两侧时，a=b=3，且∠acb=60°，则cd
2）如图2，当点d与点c位于直线ab的同侧时，a=b=6，且∠acb=90°，则cd
3）如图3，当∠acb变化，且点d与点c位于直线ab的两侧时，求 cd的最大值及相应的∠acb的度数。
图1图2图3
海淀。25.在rt△abc中，∠acb=90°,tan∠bac=.点d在边ac上(不与a,c重合),连结bd,f为bd中点。
1）若过点d作de⊥ab于e，连结cf、ef、ce，如图1． 设，则k
2）若将图1中的△ade绕点a旋转，使得d、e、b三点共线，点f仍为bd中点，如图2所示．求证：be-de=2cf；
3）若bc=6，点d在边ac的三等分点处，将线段ad绕点a旋转，点f始终为bd中点，求线段cf长度的最大值．
大兴。23．在平面直角坐标系中，矩形abco的面积为15，边oa比oc大2，e为bc的中点，以oe为直径的⊙o′交x轴于d点，过点d作df⊥ae于f.
1） 求oa，oc的长；
2） 求证：df为⊙o′的切线；
3）由已知可得，△aoe是等腰三角形。那么在直线bc上是否存在除点e以外的点p，使△aop也是等腰三角形？如果存在，请你证明点p与⊙o′的位置关系，如果不存在，请说明理由。
24．已知：如图，在四边形abcd中， ad=bc,∠a、∠b均为锐角．
当∠a=∠b时，则cd与a b的位置关系是cd ab,大小关系是cd ab；
当∠a>∠b时，（1）中c d与a b的大小关系是否还成立，证明你的结论．
房山。25．已知：等边三角形abc如图1，p为等边△abc外一点，且∠bpc=120°．
试猜想线段bp、pc、ap之间的数量关系，并证明你的猜想；
2）如图2，p为等边△abc内一点，且∠apd=120°．
求证：pa+pd+pc＞bd
顺义。24． 已知：如图，等边△abc中，点d为bc边的中点，点f是ab边上一点，点e**段df的延长线上，∠bae＝∠bdf，点m**段df上，∠abe＝∠dbm．
1）猜想：线段ae、md之间有怎样的数量关系，并加以证明；
2）在（1）的条件下延长bm到p，使mp＝bm，连接cp，若ab＝7，ae＝，求tan∠bcp的值．
平谷。24．已知点a，b分别是两条平行线，上任意两点，c是直线上一点，且。
abc=90°，点e在ac的延长线上，bc＝ab (k≠0).
1）当＝1时，在图（1）中，作∠bef＝∠abc，ef交直线于点f.，写出线段ef与eb的数量关系，并加以证明；
2）若≠1，如图(2)，∠bef＝∠abc，其它条件不变，**线段ef与eb的数量关系，并说明理由．
燕山。24．已知：如图，等边△abc中，ab=1，p是ab边上一动点，作pe⊥bc，垂足为e；作ef⊥ac，垂足为f；作fq⊥ab，垂足为q.
1）设bp=x，aq=y，求y与x之间的函数关系式；
2）当点p和点q重合时，求线段ef的长；
3）当点p和点q不重合，但线段pe、fq相交时，求它们与线段ef
围成的三角形周长的取值范围。
延庆。25. 在中，，点在所在的直线上运动，作（按逆时针方向）．
1）如图1，若点**段上运动，交于．
求证：；当是等腰三角形时，求的长．
2）①如图2，若点在的延长线上运动，的。
反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；
如图3，若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．
石景山。24.已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时。
针旋转°()旋转后角的两边分别交于点、点，交。
于点、点，联结．
1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
2）**△与△的面积的数量关系，写出结论并加以证明．
门头沟。24．在梯形abcd中，ad∥bc, ∠abc =90°，且ad=1，ab=2，tan∠dcb=2 ，对角线ac和bd相交于点o．在等腰直角三角形纸片ebf中，∠ebf=90°，eb=fb．把梯形abcd固定不动，将三角形纸片ebf绕点b旋转．
1）如图1，当三角形纸片ebf绕点b旋转到使一边bf与梯形abcd的边bc在同一条直线上时，线段af与ce的位置关系是 ，数量关系是。
2） 将图1中的三角形纸片ebf绕点b逆时针继续旋转， 旋转角为（）,请你在图2 中画出图形，并判断（1）中的两个结论是否发生变化，写出你的猜想并加以证明；
3）将图1中的三角形纸片ebf绕点b逆时针旋转到一边bf恰好落**段bo上时，三角形纸片ebf的另一边ef与bc交于点m，请你在图3中画出图形．
判断（1）中的两个结论是否发生变化，直接写出你的猜想，不必证明；
若，求bm的长．
怀柔。24. （本题满分6分）等腰△abc，ab=ac=８，bac=120°，p为bc的中点，小亮拿着300角的透明三角板，使300角的顶点落在点p，三角板绕p点旋转．
1）如图a，当三角板的两边分别交ab、ac于点e、f时．求证：△bpe∽△cfp；
2）操作：将三角板绕点p旋转到图b情形时，三角板的两边分别交ba的延长线、边ac于点e、f．
1 **１：△bpe与△cfp还相似吗？
2 **２：连结ef，△bpe与△pfe是否相似？请说明理由；
3 设ef=m，△epf的面积为s，试用m的代数式表示s．
图a图b东城。
24. 等边△abc边长为6，p为bc边上一点，∠mpn=60°，且pm、pn分别于边ab、ac交于点e、f.
1）如图1，当点p为bc的三等分点，且pe⊥ab时，判断△epf的形状；
2）如图2，若点p在bc边上运动，且保持pe⊥ab，设bp=x，四边形aepf面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
3）如图3，若点p在bc边上运动，且∠mpn绕点p旋转，当cf=ae=2时，求pe的长。
图1图2图3
密云。24.如图，边长为5的正方形的顶点在坐标原点处，点分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），，且与正方形外角平分线交于点。
1）当点坐标为时，试证明；
2）如果将上述条件“点坐标为（3，0）”改为“点坐标为（，0）（）结论是否仍然成立，请说明理由；
3）在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请证明；
若不存在，请说明理由。
朝阳。23．如图，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠b=90°，ab=8，，ca=cd，e、f分别是线段ad、ac上的动点（点e与点a、d不重合），且∠fec=∠acb，设de=x，cf=y.
（1）求ac和ad的长；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当△efc为等腰三角形时，求x的值。
25．已知：△abc和△ade都是等腰直角三角形，∠abc=∠ade=90°，点m是ce的中点，连接bm.
（1）如图①，点d在ab上，连接dm，并延长dm交bc于点n，可**得出bd与bm的数量关系为。
（2）如图②，点d不在ab上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。
西城。25．在rt△abc中，∠c=90°，d，e分别为cb，ca延长线上的点，be与ad的交点为p.
（1）若bd=ac，ae=cd，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠ape的度数；
（2）若，，求∠ape的度数。
通州。23．已知：矩形纸片abcd中，ab＝26厘米，bc＝18.5厘米，点e在ad上，且ae＝6厘米，点p是边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点p与点重合，展开纸片得折痕mn（如图23（1）所示）；
步骤二，过点p作，交mn所在的直线于点q，连接qe（如图23（2）所示）
1）无论点p在边上任何位置，都有pq qe（填“”、号）；
2）如图23（3）所示，将纸片abcd放在直角坐标系中，按上述步骤。
一、二进行操作：
当点在点时，pt与mn交于点q1 ，q1点的坐标是。
当pa=6厘米时，pt与mn交于点q2 ，q2点的坐标是。
当pa=12厘米时，在图22（3）中画出mn，pt（不要求写画法），并求出mn与pt的交点q3的坐标；
3）点在运动过程中，pt与mn形成一系列的交点q1 ，q2 ，q3 ，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．
25．已知梯形中，ad//bc，∠a=120°,e是ab的中点，过e点作射线ef//bc，交cd于点g，ab、ad的长恰好是方程的两个相等实数根，动点p、q分别从点a、e出发，点p以每秒1个单位长度的速度沿射线ab由点向点b运动，点q以每秒2个单位长度的速度沿ef由e向f运动，设点p、q运动的时间为t.
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