益思元学校高二数学常用逻辑用语复习讲义。
第二讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词。
知识盘点］一．逻辑联结词。
1．逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如或且非 .
2．“且”记作 ；“或”记作 ；“非”记作 .
3．命题，和的真假判断。
1）当都是真命题时，为真 ；为真 ；为假 .
2）当有一个是真命题时，为假 ；为真 .
3) 当都是假命题时，为假 ；为假 ；为真 .
上述语句可以描述为：对于而言“一假必假”；对于而言“一真必真”；对于而言“真假相反”。
可以用下表来判断：（即真值表）
二．全称量词与存在量词。
4．全称量词：短语所有每一个 、任意一个一切等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号来表示；含有全称量词的命题，叫做全称命题 .
全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为 .
5．存在量词：短语有些至少有一个 、 有一个存在等表示个别或一部分的含义，在逻辑中通常叫做存在量词，用符号来表示；
含有存在量词的命题，叫做特称命题 .
存在命题“存在中一个，使成立” 可用符号简记为 .
6．含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的全称命题的否定，有以下结论：
全称命题：，它的否定： ；即全称命题的否定是 .
含有一个量词的特称命题的否定，有以下结论：
全称命题：，它的否定： ；即全称命题的否定是 .
注意：全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等； 存在量词：
存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；全称命题p:m, p(x） 否定为 p: m, p（x）存在性命题p:
m, p(x） 否定为 p: m, p（x）
特别提醒］1．对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解。
在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非” 关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：
1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在或中的“或”是指 “”与“”中至少有一个成立，可以是“且”，也可以是“且”，也可以是“且”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；
2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在且的“且”是指“”、都要满足的意思，即既要属于集合a，又要属于集合b；
3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非”，当为真时，非为假，当为假时，非为真。若将命题对应集合，则命题非就对应着集合在全集u中的补集；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.
5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。
2．由于全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题，因此，可以通过“举反例”来否定一个全称命题。
基础闯关]1．在命题“方程的解是”中使用逻辑联结词的情况是（b）
a）没有使用逻辑联结词 （b）使用了逻辑联结词“或”
c）使用了逻辑联结词“且” （d）使用了逻辑联结词“非”
2．（2023年山东省实验中学）有下列四个命题，其中真命题有：
“若，则互为相反数”的逆命题；
“全等三角形的面积相等”的否命题；
“若，则有实根”的逆命题；
“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题c ）
（a）①②bcd）③④
3．（2023年淄博统考）下列命题中是全称命题的是（ d ）
a）圆有内接四边形（b） （c）
d）若三角形的三边长分别为3,4，5，则这个三角形为直角三角形。
4．设a、b为两个集合，下列四个命题：
a b对任意 ②a b
③a bab ④a b存在。
其中真命题的序号是把符合要求的命题序号都填上）
5．（2023年济宁期未）写出命题：的否定 。
6．给出以下命题： ，有； ，使得； ，对，使。其中的假命题是 .
典例精析]例1．在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题：“第一次射击中靶”，命题：“第二次射击中靶”，试用，及逻辑连结词“或”“且”“非”表示下列命题：
1）两次射击均中靶； （2）两次射击均未中靶；
3）两次射击恰好有一次中靶；（4）两次射击至少有一次中靶。
剖析］此题目是判断复合命题的形式，利用仔细分析命题的构成是解决此类题目的关键。
解］（1）因为“两次射击均中靶”的意思是“第一次中靶”，“第二次中靶”同时发生了，所以需用逻辑联结词“且”，应为：“且”；
2）“两次射击均未中靶”说明“第一次射击中靶”这件事情没有发生，也就是发生了，且“第二次射击中靶”这件事情也没有发生，也就是发生了，并且是与同时发生的，故用逻辑联结词联结应为：“且”；
3）“两次射击恰好有一次中靶”有可能是“第一次中靶而第二次未中”，即“且”；也有可能是“第一次未中，而第二次射中”即“且”；从而原命题用逻辑联结词联结应为：“且，或且”；
4）“两次射击至少有一次中靶”即“第一次射中”或“第二次射中”应为“或”。
警示］逻辑联结词是用来联结命题的，利用逻辑联结词可以将几个简单命题组合成较为复杂的命题。
变式训练］1． 分别指出下列各命题的构成的“或” 、且”和“非”的形式。
1）是无理数，是实数；
3）8或6是30的约数；
4）矩形的对角线垂直平分。
例2．（05年西安市模拟）指出下列命题的真假。
1）命题“不等式没有实数解”； 2）命题“－1是偶数或奇数”；
3）命题“属于集合，也属于集合”；（4）命题“”
剖析］先找出逻辑联结词，再判定命题的真假。
解］ （1）此命题为“非”的形式，其中：“不等式有实数解”，因为是该不等式的一个解，所以是真命题，即非是假命题，所以原命题是真命题。
2）此命题是“或”的形式，其中：“－1是偶数”，：1是奇数”，因为为假命题，为真命题，所以或是真命题，故原命题是真命题。
3）此命题是“且”的形式，其中：“属于集合”，：属于集合”，因为为假命题，为真命题，所以且是假命题，故原命题是假命题。
4）此命题是“非” 的形式，其中：“”因为为真命题，所以“非”为假命题，故原命题是假命题。
警示］为了正确判断含有逻辑联结词命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据真值表判定所构成的新命题的真假。关于复合命题，要理解以下两点：当且仅当个复合命题中至少有一个真命题时，复合命题“”是真命题，简称为“一真必真”；当且仅当个复合命题中至少有一个假命题时，复合命题“”是假命题，简称为“一假必假”；复合命题“”的否定命题是“”；复合命题“”的否定是“”.
变式训练］2．判断下列复合命题的真假。
1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
2）方程的根是；
3）对所有的正实数，为正数，且＜；
4）对于实数，若，则。
例3．（2023年华师附中）已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式若命题是假命题，求的取值范围。
剖析］先将，化简，由“或”为真命题时推出的取值范围，而是假命题为其反面情况，进而求解。
解］由，得，显然，或。
故或，又“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，，或，命题“或”为真命题时，或。
命题“或”是假命题，的取值范围为或。
警示］本题涉及一元二次方程、一元二次不等式（组）、补集、“或”的复合问题，其实关于“或”与“且”这两类复合命题的判断与解答题目，在解答时只注意层层推进先将化简，然后根据题设条件推出所有的情况。
变式训练］3．已知命题不等式的解集为，命题是减函数，若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围。
例4．写出下列命题的否定，并判断真假。
1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；
3）有些实数的绝对值是正数； （4）某些平行四边形是菱形。
剖析］首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定。对于（1）来说，其否命题是：“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是“存在一个矩形不是平行四边形”，它与“所有的矩形都不是平行四边形”有区别，前者是指“存在一个矩形不是平行四边形”，并不排除有其它的矩形是平行四边形的可能。
解］（1）存在一个矩形不是平行四边形；假命题；
2）存在一个素数不是奇数；真命题；
3）所有的实数的绝对值都不是正数；假命题；
4）每一个平行四边形都不是菱形，假命题。
警示］要特别注意全称命题与特称命题的否定，简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词；一般来说，全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题。
变式训练］4. 写出下列命题的否定。
1）自然数的平方是正数；
2）任何实数，它不是的根；
3）对于任意实数，同时存在实数，使；
4）有些质数是奇数。
例5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。
1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
3）是无理数， x2是无理数；(4).
剖析］判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或特称量词，对于有的题目隐含了全称量词或特称量词，要注意对其进行改写来找到。对于（1）隐含了全称量词“任意的”，因此需要对其进行改写，（2）（3）（4）则从题目中可以看出全称量词与特称量词。
解］（1）本题隐含了全称量词“任意的”，其实原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；
2）命题中含有特称量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；
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