彭湃中学高三文科数学练习六。
导数的应用）
一、 选择题。
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是。
a．0秒b．1秒末。
c．2秒末d．1秒末和2秒末。
2．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形状是。
3． (2023年广东卷文)函数的单调递增区间是。
a. b.(0,3) c.(1,4) d.
4．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是 (
a．(－7] b．(－20] c．(－0d．[－12,7]
5．对于在r上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有 (
a．f(0)＋f(2)<2f(1b．f(0)＋f(2)≤2f(1)
c．f(0)＋f(2)≥2f(1d．f(0)＋f(2)>2f(1)
6．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )
a．－1bc．－2d．2
7． (08·广东)设a∈r，若函数y＝ex＋ax，x∈r有大于零的极值点，则 (
a．a<－1b．a>－1 c．ad．a<－
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有 (
a．0个b．1个 c．2个d．3个。
9．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞上是增函数，则实数k的取值范围是 (
a．[－2，＋∞b．[2，＋∞c．(－2] d．(－2]
10．(08·辽宁)设p为曲线c：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点p横坐标的取值范围为。
a．[－1b．[－1,0] c．[0,1d．[，1]
11．函数f(x)是定义在(0，＋∞上的可导函数，且满足f(x)>0，xf′(x)＋f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有。
a．af(b)12．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是。
a．f(1)与f(－1) b．f(－1)与f(1) c．f(－2)与f(2) d．f(2)与f(－2)
二、填空题。
13．（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则。
14．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是___
15．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在r上不是单调减函数，则b的取值范围是___
彭湃中学高三文科数学练习六。
一、选择题。
二、填空题。
三、解答题。
16.（2010重庆文）(19) (本小题满分12分), 小问5分，(ⅱ小问7分。)
已知函数(其中常数a,b∈r),是奇函数。
ⅰ)求的表达式；
ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值。
17．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋3在x＝－1和x＝2处取得极值．
1)求f(x)的表达式和极值．
2)若f(x)在区间[m，m＋4]上是单调函数，试求m的取值范围．
18．设函数f(x)＝x2－2tx＋4t3＋t2－3t＋3，其中x∈r，t∈r，将f(x)的最小值记为g(t)．
1)求g(t)的表达式；
2)讨论g(t)在区间[－1,1]内的单调性；
3)若当t∈[－1,1]时，|g(t)|≤k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围．
19． (09·湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．
1)试写出y关于x的函数关系式；
2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
20．（2009四川卷文）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。
i）求函数的解析式；
ii）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值。
21.（2010天津文）（20）
已知函数f（x）=，其中a>0.
ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。
彭湃中学高三文科数学练习六（答案）
1、[答案] d
解析] s′＝t2－3t＋2＝0，令s′＝0，得t＝1或2，故选d.
2、[答案] b
解析] 因为二次函数在(－∞0)上递增，在(0，＋∞递减，所以其导函数在(－∞0)大于0，在(0，＋∞小于0，故选b.
3、答案 d
解析 ,令，解得，故选d
4、[答案] b
解析] 令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．
f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.
f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，综上可知应选b.
5、[答案] c
解析] ∵x－1)f′(x)≥0，，或，若函数y＝f(x)在(－∞1]上单调递减，在[1，＋∞上单调递增，则f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，f(0)＋f(2)>2f(1)．
若函数y＝f(x)为常数函数，则f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选c.
6、[答案] a
解析] ∵y′＝
f′＝－1，由条件知＝－1，a＝－1，故选a.
7、[答案] a
解析] y′＝ex＋a，由条件知，有解，a＝－ex<－1.
8、[答案] c
解析] ∵f(0)＝0.
c＝0.∵f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，，即，a＝0，b＝－4，∴f(x)＝x3－4x，∴f ′(x)＝3x2－4.
令f ′(x)＝0得x＝±∈2,2]．
极值点有两个．∵f(x)为奇函数，f(x)max＋f(x)min＝0.∴①正确，故选c.
9、[答案] a
解析] 由条件h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞上恒成立，所以k∈[－2，＋∞
10、[答案] a
解析] y′＝2x＋2，∵切线倾斜角θ∈[0，]，切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，－1≤x≤－.
11、[答案] b
解析] 构造函数y＝(x>0)，求导得y′＝，由条件知f′(x)<0，∴y′<0，函数y＝在(0，＋∞上单调递减，又a>b>0，∴<即bf(a)12、[答案] c
解析] 由图象知f′(2)＝f′(－2)＝0.
x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，y＝f(x)在(2，＋∞上单调递增；
同理f(x)在(－∞2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，故选c.
13、解析 f’(x)＝
f’(1)＝＝0 a＝3
答案 314、[答案] a>2或a<－1
解析] f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1
15、[答案] b<－1或b>3
解析] y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在r上单调递减，应有y′≤0恒成立，δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在r上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.
17、[解析] (1)依题意知：f′(x)＝6x2＋2ax＋b＝0的两根为－1和2，∴
f(x)＝2x3－3x2－12x＋3.
f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)．
令f′(x)>0得，x<－1或x>2；令f′(x)<0得，－1∴f(x)极大＝f(－1)＝极小＝f(2)＝－17.
2)由(1)知，f(x)在(－∞1]和[2，＋∞上单调递增，在[－1,2]上单调递减．
m＋4≤－1或或m≥2.∴m≤－5或m≥2，即m的取值范围是(－∞5]∪[2，＋∞
18、[解析] (1)f(x)＝(x－t)2＋4t3－3t＋3，当x＝t时，f(x)取到其最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3.
2)∵g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)，列表如下：
由此可见，g(t)在区间和上单调递增，在区间上单调递减．
3)∵g(1)＝g＝4，g(－1)＝g＝2
g(t)max＝4，g(t)min＝2，又∵|g(t)|≤k恒成立，∴－k≤g(t)≤k恒成立，，∴k≥4.
19、[解析] (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
256＋(2＋)x
＋m＋2m－256.
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