一、解释下列词语(每条词语满分5分，共15分)
1．原型。所谓原型（prototype）就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物（或对象）。
2．数学模型。
概言之，就是对某种事物系统的特征和数量关系，借助数学语言而建立起来的符号系统。暗广义理解：凡是以相应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等都称为数学模型。
按狭义理解：那些反映特定问题或特定事物系统的数学符号系统就叫做数学模型。
3．思维模型。
通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类。
答：模型一般分为体模型和抽象模型两大类。具体模型有直观模型、物理模型等；抽象模型有思维模型、符号模型、数学模具型等。
2．数学建模的基本步骤。
答：按照建模过程，一般基本步骤为。
1）建模准备。
建模准备是确立建模课题的过程。
（2）建模假设。
建模假设是根据建模的目的对原型进行抽象、简化。把反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化非本质因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件。
（3）构造模型。
在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学模型。
（4）模型求解。
根据已知条件和数据，分析模型的特征和结构特点，设计或选择求解的数学方法和算法，然后编写程序或运用相适应的软件包，并借助计算机完成求解。
（5）模型分析。
根据建模的目的，对模型求解的数字结果进行分析。通过分析，修改或重建不符合要求的模型，对符合要求的模型进行优化。
（6）模型检验。
回到客观实际中对模型进行检验，看是否符合客观实际。若不符，修改或重新建模。不断完善，直至获得满意结果。
（7）模型应用。
模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型最客观、最公正的检验。
3．数学模型的作用。
答：数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学**、科学管理、科学决策、驾控市场经济及至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。
数学模型给科学研究的对象以定量描述，从而把科学推向更高的阶段。数学模型对很多科学概念的表达、科学规律的揭示以及科学体系的形成都起到了不可缺少的重要作用。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点都是通过数学模型和数学方法借助计算机的计算、控制来实现的。
三、解答题（满分20分）
c 题 (7n+2, 7n+1)
在一个半球形容器的球面上出现了六个小圆孔，我们称这样的容器为残半球容器，往残半球容器中注入液体，如何放置该残半球容器能使其容量尽可能的大？
答：将半球容器边缘的圆称之为边缘圆。首先，确定好所有不在同一直线上的三个孔所确定的平面。
如果边缘圆与其他孔都位于其中某平面的一侧，则称该平面为标准面。同时，确定标准面上三个孔的外接圆半径，称之为标准半径；其次，考虑任意两个孔。在边缘圆上确定一点，使它与两个孔所确定的平面和边缘圆相切，如果其他所有孔均位于这一平面边缘圆所在的一侧，则称其为标准面，同时求出标准半径。
具体做法是：过两个孔a、b作直线，有两种情况：①与边缘圆所在的平面相交。
那么设交点为c，过c点作边缘圆的切线，切点分别为d，d＇过直线ab与直线cd(或c d＇)的平面与边缘圆相切。②与边缘圆所在平面平行，设边缘圆的圆心为o，过o作直线ab的垂面，设垂面与边缘圆相交于d和d＇，则过直线ab及点d(或d＇)的平面与边缘圆相切。在上述所有标准半径中，求出最大者。
最后使最大标准半径所在的平面与水平面平行，而且让边缘圆位于此标准面之上，这时残半球容器的容量最大。
e 题 (7n+4, 7n+2)
录像带上有一个四位计数器，一盘180分钟的录像带在开始计数时为0000，到结束时计数为1849，实际走时为185分20秒。 我们从0084观察到0147共用时3分20秒。若录像机目前的计数为1428，问是否还能录完一个60分钟节目？
建立数学模型给于回答。
答：设录像带的厚度为w，它被绕在一个半径为r的圆盘上，如图所示。
磁带转动中线速度为v。此外，计数器的读数n与转过的圈数有关，从而与转过的角度θ成正比。
由得到 且得到。
积分得。即。
令，则。故。
令t= an2+bn ，从后两式中消去t1，解得a=0.0000291, b=0.04646,则t=0.
0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）因为一盒录像带实际可录像时间为185.
33分，所以可录像时间为59.64分，不可以再录下一个60分钟的节目了。 四、综合题（41分）
k 飞机降落曲线(5n+2, 5n+4, 5n+3)
图1在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式。 飞行的高度为，飞机着陆点为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数。
出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过，此处是重力加速度。 1. 若飞机从距降落点水平距离处开始降落，试确定出飞机的降落曲线。
2. 求开始下降点所能允许的最小值。
**。题目：关于飞机降落曲线的问题研究。
摘要：本次任务主要运用了数学分析中的微积分，利用微积分的求导公式解出该次设计的飞机降落曲线的五次方程，并依赖mathematica的计算和作图功能，确定出满足设计要求的飞机安全降落曲线。
飞机为了实现安全降落，必须在开始降落和着陆的过程中都保持水平飞行的姿态，还必须在下降过程中保持较小的铅直加速度（否则乘客将感到不适），所以这就要求我们对飞机的安全降落进行确定。
关键词：微积分，导数，复合函数，复合函数求导。
正文：（1）问题提出：在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式。
飞行的高度为，飞机着陆点为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数。 出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过，此处是重力加速度。 1.
若飞机从距降落点水平距离处开始降落，试确定出飞机的降落曲线。 2. 求开始下降点所能允许的最小值。
2）问题分析。
1. 确定出飞机的降落曲线。
2. 求开始下降点所能允许的最小值。
3）模型假设。
1.初始假定
飞机开始降落时，距离落点的水平距离为l（km），机高为h(m)（机场的地面高度取作0）。 飞机开始降落和着陆时，都保持水平飞行姿态。
2.建立数学表达式
可以用不同的函数来模拟飞机的降落曲线。由于有4个隐藏的假定条件，因此采用五次抛物线（方程假设如下）来模拟飞机的降落曲线，则由上面的初始假定，可以得到4个蕴涵的初始条件，如下：
：在整个降落过程中，飞机的水平速度保持不变；
：f（0）=0，f＇（0）=0；
：f（l）=h，f＇（l）=0；
：在竖直方向的加速度的绝对值不能超过一个常数k=g/10（k远小于重力加速度）。
4）模型求解。
设所求飞机的降落曲线为。
由已知条件。
于是可求得。
从而所求的降落曲线的方程为。
又。于是由已知条件，即。
5模型结果的分析和检验。
从以上的计算中可以看到当时，s达到了所要求的最小值。此时考虑到在飞机下落后需要保持平稳的状态。
6模型的优缺点及改进的方向。
本模型的优点在于运用了mathematica的计算和作图功能，确定出了设计要求的飞机安全降落曲线。从而解决了一些难于实际来测试的问题。但它也有缺点，就是不能很直观的看出。
参考文献。数学建模导论》陈理荣主编。
《数学建模》05春模拟试题参考解答
一 填空题 每题5分，满分20分 3.问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析 二 分析判断题 每题10分，满分20分 1 要研究的问题 如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益 2分。2 所需资料为 每天早晨乘电梯的总人数 各层上 下电梯的人数 电梯的速度 楼层的高度 层数等 5分。3...
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题目 最低生活保障问题。温家宝总理在十届人大三次会议所作的 工作报告 中指出，要贯彻落实科学发展观，着力解决与人民群众切身利益相关的突出问题高度重视解决城乡困难群众基本生活问题维护社会稳定，努力构建社会主义和谐社会。1999年 颁布 城市居民最低生活保障条例 规定对持有非农业户口的城市居民，凡共同生...
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