一、填空题（每题5分，满分20分）：
3. 问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析；
二、分析判断题（每题10分，满分20分）：
1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益 ……2分。
2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等 ……5分。
3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料 ……8分。
4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型 ……10分。
2. 可以转化为运输模型，具体做法如下：
首先确定总的产销量。 总产量显然为12000件；总需求量中，客户3的需求量在保证已承诺给客户1和2的供给量7000件条件下，最多是5000件，而客户4则最多可得4000件。因此，总需求量按最高需求应为16000件，因而可视问题为供小于求的运输问题 ……4分。
其次，为产销平衡，虚设一个工厂4，其产量为4000件6分。
再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各自需求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-m（m是一个充分大的正数）. 8分。
综合上述讨论得产销平衡运价表如下：
表1单位：元/件。
………10分。
三、计算题（每题20分，满分40分）：
1. 建立图模型如图1-1.
图1-110分。
利用双标号法计算结果如图1-2.
图1-215分。
再利用逆向搜索法便可得到运输路线有：，
或 20分。
（注意，到c的路线只给出一条者扣2分）
2. 易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题。我们有。
(1) 利用最小元素法可得初始方案如表1，表1
5分。（2）使用闭回路法可得负检验数为=-1，故令进基10分。
（3）使用闭回路法进行调整知出基，便得新的运输方案如表2 ……15分
表2（4）再进行检验知，所有检验数，故得最优运销图如图1-3：
图1-3最小费用为385（百元20分。
四、综合应用题（本题满分20分）：
1. 问题分析。
所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的5分。
2. 模型假设。
(1) 四条桌腿同长，视四个桌脚为四个几何点，四脚的连线呈长方形；
(2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面；
(3) 地面是相对平坦的，在任何位置，至少有三个桌腿同时着地。
………10分。
3. 模型建立。
如图1-4，以长方形的两条对角线的交点。
为原点建立平面直角坐标系，且不妨设a、c
两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度。
有关。注意到假设3，设a、b两个桌脚与。
地面距离之和为，另外两个桌脚与
地面距离之和为则与。
中至少有一个为零，当时不妨假设图1-4
又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：
已知则，使得。
上述命题即为所建立的数学模型15分。
4. 模型求解。
只须证明上述命题即可。
将桌子旋转，则a、b两点与d、c两点恰好交换位置。由假设便有， 又由前述假设，
令则有由于的连续性知也是连续函数。依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度，使得，即又根据成立，故有。
5. 模型分析。
由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略20分。
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